Problem z dziwną implikacją

[osa750]

Intryguje mnie pewne zadanie, które nie widzę jak ugryźć (wiem, pewnie jest jakiś banalny "myk" na to, ale jakoś go nie widzę). Będę wdzięczny za pomoc. Wygląda ono tak:

Udowodnij:

\(\displaystyle{ (x+y+z=1)\Rightarrow (x^2+y^2+z^2 \ge \frac{1}{3})}\)

[Majeskas]

\(\displaystyle{ 3x^2+3y^2+3z^2 \ge 1}\)

\(\displaystyle{ (x+y+z)^2=1}\)

Rozpisz wzór skróconego mnożenia, następnie powiąż równość podaną w zadaniu z nierównością, którą należy udowodnić tak, żeby wyszła prawda.

[osa750]

no dobra, więc:

\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz = 1

x^2+y^2+z^2=2xy+2xz+2yz+1

3x^2+3y^2+3z^2=6xy+6xz+6yz+3}\)

I co? To mam wstawić?

\(\displaystyle{ 6xy+6xz+6yz+3 \ge 1}\)

I co dalej?

[Majeskas]

\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=2xy+2xz+2yz+1}\)

A to skąd się wzięło?

Dobra, szersza podpowiedź.

Skoro \(\displaystyle{ (x+y+z)^2=1}\), to możemy zapisać tezę w ten sposób:

\(\displaystyle{ 3x^2+3y^2+3z^2 \ge (x+y+z)^2}\)

Teraz spróbuj przekształcić tę nierówność tak, by pokazać, że dla każdej trójki liczb x, y, z spełniających założenie zadania jest prawdziwa (szukaj wzorów skróconego mnożenia).

[Marcinek665]

Jest to zadanie z Wędrówek po krainie nierówności pana Kourliandtchika z działu jednorodności. Zabieg, który dokonujemy, podstawiając w liczniku \(\displaystyle{ 1= \left(x+y+z \right) ^{2}}\) nazywamy ujednorodnieniem i pomaga to w dowodzeniu nierówności (dochodząc do postaci jednorodnej, pozbywamy się założenia). Polecam zapoznać się z tą książką, bo naprawdę ułatwia ona przeprawę przez wiele nietrywialnych nierówności.

Pozdrawiam.

[smigol]

Jest to zadanie z Wędrówek po krainie nierówności pana Kourliandtchika z działu jednorodności. Zabieg, który dokonujemy, podstawiając w liczniku \(\displaystyle{ 1= \left(x+y+z \right) ^{2}}\) nazywamy ujednorodnieniem i pomaga to w dowodzeniu nierówności (dochodząc do postaci jednorodnej, pozbywamy się założenia). Polecam zapoznać się z tą książką, bo naprawdę ułatwia ona przeprawę przez wiele nietrywialnych nierówności.

Pozdrawiam.

Widziałem tę nierówność w wielu książkach, które zostały wydane przed "Wędrówkami...".

[osa750]

A kurcze! Sorry, tam minusy mają być przecież ^^

Jest to zadanie z Wędrówek po krainie nierówności pana Kourliandtchika z działu jednorodności. Zabieg, który dokonujemy, podstawiając w liczniku \(\displaystyle{ 1= \left(x+y+z \right) ^{2}}\) nazywamy ujednorodnieniem i pomaga to w dowodzeniu nierówności (dochodząc do postaci jednorodnej, pozbywamy się założenia). Polecam zapoznać się z tą książką, bo naprawdę ułatwia ona przeprawę przez wiele nietrywialnych nierówności.

Pozdrawiam.

Myślę, że jest prostszy sposób - bez odwoływania się do takich dziwactw. Zadanie spotkałem w arkuszu przygotowującym do matury podstawowej z matematyki.

No ale jak już trzeba się odwołać, to czemu nie. Jest gdzieś w pdfie?

[smigol]

Myślę, że jest prostszy sposób - bez odwoływania się do takich dziwactw. Zadanie spotkałem w arkuszu przygotowującym do matury podstawowej z matematyki.

No ale jak już trzeba się odwołać, to czemu nie. Jest gdzieś w pdfie?

Ja nie posiadam tej książki w pdf-ie.

Zadania w 'Wędrówkach" poza pierwszymi podrozdziałami pierwszego rozdziału są raczej ciężkie. I mają na celu przygotowanie do nierówności z olimpiad (sporo zadań jest nawet dużo trudniejszych niż na I czy II et. OM).

A to co zrobił Majeskas, to jest właśnie ujednorodnienie, to znaczy wstawił zamiast \(\displaystyle{ 1}\) - \(\displaystyle{ (x+y+z)^2}\) tylko o tym nie wspomniał, bo na ogół się tego nie robi tylko się podstawia.
A dlaczego to zrobił? Żeby po jednej i po drugiej stronie nierówności wszystkie składniki danego wyrażenia miały ten sam stopień (inaczej: żeby nierówność była jednorodna) co b. często pomaga w dowodzeniu danej nierówności.

P.S.
np. \(\displaystyle{ x}\) ma stopień równy 1,
\(\displaystyle{ x^2}\) ma stopień równy 2,
\(\displaystyle{ 5xyz}\) ma stopień równy 3
\(\displaystyle{ 98 \cdot \sqrt[10]{x^2y}}\) ma stopień równy \(\displaystyle{ \frac{3}{10}}\)

[osa750]

No i dalej nie widzę jak to zrobić...

[smigol]

To zadanie wziąłeś ze strony CKE, prawda? Dzisiaj znajomy z klasy mnie pytał o to zadanie.
No i tę nierówność masz w drugim podpunkcie. Skorzystaj z tego co podał Majeskas, a potem wypadałoby skorzystać z podpunktu pierwszego (nie bez powodu jest tam zamieszczony jako punkt pierwszy). Ewentualnie zwinąć w sumę kwadratów.

[osa750]

Kiedyś koleżanka, która się przygotowywała do matury własnie mi podesłała linka z tym i za cholerę nie mogłem sobie z tym poradzić

Można jaśniej? Bo nie rozumiem.

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ 3x^2+3y^2+3z^2 \ge 1}\)

\(\displaystyle{ (x+y+z)^2=1}\)

Podstaw drugie do pierwszego i pozwijaj to w kwadraty.

[Majeskas]

Ech, ech.

\(\displaystyle{ 3x^2+3y^2+3z^2 \ge (x+y+z)^2}\)

\(\displaystyle{ 3x^2+3y^2+3z^2 \ge x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz}\)

\(\displaystyle{ 2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz \ge 0}\)

Teraz skup się, chłopie, bo już tylko krok dzieli Cię od sukcesu.

Lewą stronę nierówności można zapisać jako sumę trzech wzorów skróconego mnożenia. Tym samym dostaniesz postać w której suma liczb nieujemnych ma być nieujemna, czyli nierówność będzie prawdziwa.

[osa750]

Czyli:

\(\displaystyle{ 3x^2+3y^2+3z^2 \ge x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz

2x^2+2y^2+2z^2 \ge 2xy+2xz+2yz}\)

Po przeniesieniu wszystko na lewą stronę i po pogrupowaniu wyrazów:

\(\displaystyle{ x^2-2xy+y^2+x^2-2xz+z^2+y^2-2yz+z^2 \ge 0

(x - y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2 \ge 0}\)

Suma kwadratów liczb rzeczywistych daje zawsze wynik większy bądź równy zeru (gwoli ścisłości - zapomniałem dodać, że x,y,z to liczby rzeczywiste). Doszliśmy do czegoś co jest prawdą, co kończy dowód.

Dobrze?

Edit: Dziękuję przedmówcy, ale w czasie gdy to pisał ja na to wpadłem Ale dziękuję za chęci.

Tak nawiasem - cap ze mnie chyba. Równania różniczkowe mam już za sobą, całki, nie całki, pochodne i tak dalej, a na takie coś nie wpadłem. Jak to ktoś powiedział - człowiek uczy się całe życie

[Majeskas]

Jest dobrze. Pozdrawiam.