Czy podane liczby są wymierne:
a) \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{125}}{10}}\)
b) \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{99}}{9}}\)
?
Wymierność liczb
-
- Użytkownik
- Posty: 98
- Rejestracja: 1 lut 2010, o 23:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Pomógł: 35 razy
Wymierność liczb
a)Załóżmy, że \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) nieskracalny i \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{125} }{10} = \frac{p}{q}}\)
to \(\displaystyle{ 125q^2=100p^2 \Rightarrow 5q^2=4p^2 \Rightarrow}\) podzielna przez 5 i \(\displaystyle{ p=5k}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow 5q^2=4 \cdot 25k^2 \Rightarrow q^2=4 \cdot 5k^2}\) to podobnie jak wcześniej wynika, że q jest podzielne przez 5 wobec tego p i q są podzielne przez 5 co prowadzi do sprzeczności gdyż założyliśmy że \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) nieskracalny. Wobec tego jest to liczba niewymierna
b) analogicznie
to \(\displaystyle{ 125q^2=100p^2 \Rightarrow 5q^2=4p^2 \Rightarrow}\) podzielna przez 5 i \(\displaystyle{ p=5k}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow 5q^2=4 \cdot 25k^2 \Rightarrow q^2=4 \cdot 5k^2}\) to podobnie jak wcześniej wynika, że q jest podzielne przez 5 wobec tego p i q są podzielne przez 5 co prowadzi do sprzeczności gdyż założyliśmy że \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) nieskracalny. Wobec tego jest to liczba niewymierna
b) analogicznie