Wymierność liczb

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
stanzil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 5 lut 2010, o 17:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 7 razy

Wymierność liczb

Post autor: stanzil »

Czy podane liczby są wymierne:

a) \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{125}}{10}}\)

b) \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{99}}{9}}\)

?
rsasquatch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 98
Rejestracja: 1 lut 2010, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Pomógł: 35 razy

Wymierność liczb

Post autor: rsasquatch »

a)Załóżmy, że \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) nieskracalny i \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{125} }{10} = \frac{p}{q}}\)
to \(\displaystyle{ 125q^2=100p^2 \Rightarrow 5q^2=4p^2 \Rightarrow}\) podzielna przez 5 i \(\displaystyle{ p=5k}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow 5q^2=4 \cdot 25k^2 \Rightarrow q^2=4 \cdot 5k^2}\) to podobnie jak wcześniej wynika, że q jest podzielne przez 5 wobec tego p i q są podzielne przez 5 co prowadzi do sprzeczności gdyż założyliśmy że \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) nieskracalny. Wobec tego jest to liczba niewymierna

b) analogicznie
ODPOWIEDZ