Matematyka.pl

Co jest większe

\(\displaystyle{ \sqrt{7} + \sqrt{10}}\) czy \(\displaystyle{ \sqrt{3} + \sqrt{19}}\)

Ja próbowałem to robić w taki sposób że przymowałem

\(\displaystyle{ a = \sqrt{7} + \sqrt{10}}\)
\(\displaystyle{ b = \sqrt{3} + \sqrt{19}}\)

\(\displaystyle{ a ^{2} - b^{2} = -4 + 2 \sqrt{70} - 2 \sqrt{57}}\)

Co dalej??

a co to da??

vip100 pisze:
\(\displaystyle{ a ^{2} - b^{2} = -4 + 2 \sqrt{70} - 2 \sqrt{57}}\)

nasze pytanie brzmi czy a jest wieksze od b czy na odwrot
wiec podnies \(\displaystyle{ a ^{2}}\) oraz \(\displaystyle{ b ^{2}}\) i porownaj kwadraty tych liczb

demka pisze:a co to da??

vip100 pisze:
\(\displaystyle{ a ^{2} - b^{2} = -4 + 2 \sqrt{70} - 2 \sqrt{57}}\)

czemu nie?
jeżeli :

\(\displaystyle{ a^{2}-b^{2}>0 \Rightarrow a>b}\)

\(\displaystyle{ a^{2}-b^{2}<0 \Rightarrow a<b}\)

Pozdrawiam. ;]

demka pisze: wiec podnies \(\displaystyle{ a ^{2}}\) oraz \(\displaystyle{ b ^{2}}\) i porownaj kwadraty tych liczb

A co to da?

\(\displaystyle{ 2 \sqrt{70} + 17\\
2 \sqrt{57} + 22}\)

-- dzisiaj, o 13:52 --

Gacuteek pisze: czemu nie?
jeżeli :

\(\displaystyle{ a^{2}-b^{2}>0 \Rightarrow a>b}\)

\(\displaystyle{ a^{2}-b^{2}<0 \Rightarrow a<b}\)

Pozdrawiam. ;]

No to mam pytanie:
\(\displaystyle{ -4 + 2 \sqrt{70} - 2 \sqrt{57}>0}\) czy \(\displaystyle{ <0}\)

nmn pisze:

demka pisze: wiec podnies \(\displaystyle{ a ^{2}}\) oraz \(\displaystyle{ b ^{2}}\) i porownaj kwadraty tych liczb

A co to da?

\(\displaystyle{ 2 \sqrt{70} + 17\\
2 \sqrt{57} + 22}\)

a to da
ze \(\displaystyle{ 8< \sqrt{70} < 9}\)
a \(\displaystyle{ 7< \sqrt{57} <8}\)
a \(\displaystyle{ 22 >17}\) stad latwo wnioskujemu \(\displaystyle{ b >a}\)

nmn pisze:No to mam pytanie:
\(\displaystyle{ -4 + 2 \sqrt{70} - 2 \sqrt{57}>0}\) czy \(\displaystyle{ <0}\)

\(\displaystyle{ 8> \sqrt{57}>7}\)
\(\displaystyle{ 9> \sqrt{70}>8}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{70}- \sqrt{57}<2}\)

\(\displaystyle{ -2+ \sqrt{70} - \sqrt{57}<0}\)

No to proponuję zapis:

\(\displaystyle{ 8< \sqrt{70} <9}\)
\(\displaystyle{ 2\cdot8+17<2 \sqrt{70} + 17<2\cdot 9+17\\\
33<2 \sqrt{70} + 17<35}\)

\(\displaystyle{ 7< \sqrt{57} < 8}\)
\(\displaystyle{ 7< \sqrt{57} < 8}\)
\(\displaystyle{ 2\cdot 7+22<2 \sqrt{57} + 22<2\cdot 8+22\\
36<2 \sqrt{57} + 22<38}\)

Do demka:zmień te znaki nierówności na < i >

nmn
poprawione

a co zrobilibyście w takim przypadku??
\(\displaystyle{ \sqrt{11} - \sqrt{10}}\) czy \(\displaystyle{ \sqrt{6} - \sqrt{5}}\)

tutaj dochodzę do momentu w którym mam coś takiego
\(\displaystyle{ a^{2} = 21 - 2 \sqrt{110}}\)
\(\displaystyle{ b^{2} = 11 - 2 \sqrt{30}}\)

i teraz wychodzą bardzo małe liczby (bliskie zera) i ciężko stwierdzić która jest większa. Co tutaj radzicie zrobić??

vip100
jesli chodzi co jest wieksze \(\displaystyle{ \sqrt{11}- \sqrt{10}}\) czy \(\displaystyle{ \sqrt{6} - \sqrt{5}}\)
to ja bym zupelnie inaczej to rozpatrzyla
otóż można zauważyć ze jesli ciag liczb naturalnych (1, 2, 3, 4,5 itd) podniesiemy do kwadratu to otrzymamy ciag 1, 4, 9, 16, 25 itd
czyli "odległosci" miedzy kwadratami liczb sa coraz wieksze
a różnice kolejnych liczb pod pierwiastkami sa mniejsze tzn
\(\displaystyle{ \sqrt{2}- \sqrt{1} > \sqrt{3}- \sqrt{2}> \sqrt{4} - \sqrt{3} > \sqrt{5} - \sqrt{4} > \sqrt{6} - \sqrt{5} > ... > \sqrt{11} - \sqrt{10} >... > \sqrt{101} - \sqrt{100}}\)

demka jesteś dobra:d dzięki:>
nauczyciel wspominał o tym na lekcji a mi to z głowy wyleciało xD