nierówność z pierwiastkiem

[AiDi]

Mam problem z taką nierównością:
\(\displaystyle{ \sqrt{m^2-4m-12} \ge m-4}\)

Podniosłem obustronnie do kwadratu, ale wtedy wychodzi tylko połowa rozwiązania, bo rozwiązaniem jest suma przedziałów. Jak wyznaczyć ten drugi przedział? I nie chodzi mi o rozwiązanie graficzne, bo po prostu chce umieć takie rzeczy robić bez rysunków

[Nakahed90]

Pierwsze dziedzina, po drugie musisz osobno rozpatrzyć przypadki kiedy prawa strona jest ujemna i nieujemna.

[lukasz1804]

Dziedziną nierówności jest zbiór rozwiązań nierówności \(\displaystyle{ m^2-4m-12\ge 0}\), tj. zbiór \(\displaystyle{ (-infty,-2]cup[6,+infty)}\)
Jeśli prawa strona jest liczbą niedodatnią, to nierówność jest prawdziwa, bowiem lewa jej strona ma zawsze wartość nieujemną. Zatem dla \(\displaystyle{ m\le 4}\), przy uwzględnieniu dziedziny, tj. dla \(\displaystyle{ m\le -2}\), nierówność zachodzi.
Rozważmy przypadek \(\displaystyle{ m\ge 6}\). Wówczas obie strony nierówności mają wartość nieujemną, więc podnosząc je do kwadratu dostajemy równoważnie (ten krok jest uzasadniony tylko wtedy, gdy obie strony nierówności są nieujemne) \(\displaystyle{ m^2-4m-12\ge m^2-8m+16}\), skąd \(\displaystyle{ 4m-28\ge 0}\), tj. \(\displaystyle{ m\ge 7}\).
Rozwiązaniem nierówności jest zatem suma przedziałów \(\displaystyle{ (-infty,-2]cup[7,+infty)}\).

[AiDi]

Ok, dzięki Takie to proste.