Odnajdź liczbę

mat-fiz · Post autor: **mat-fiz** » 8 lip 2009, o 19:15

Znajdź liczbę naturalną mniejszą od 1000, która przy dzieleniu przez 10 daje resztę 9, przy dzieleniu przez 15 -resztę 14, a przy dzieleniu przez 21 resztę 20.

Mam nadzieję, że znajdzie się ktoś, któremu nie sprawi to zadanie problemu, z góry dzięki!

Post autor: **Nakahed90** » 8 lip 2009, o 19:45

Znasz chińskie twierdzenie o resztach.

mat-fiz · Post autor: **mat-fiz** » 8 lip 2009, o 20:03

Nie znam, a to niezbędne do rozwiązania tego zadania? Wydaje m się że nie, bo to zadanie dla I klasy liceum, a w programie nie ma tego twierdzenia.

Post autor: **Nakahed90** » 8 lip 2009, o 20:32

No OK, postaram się zrobić bez znajomości tego twierdzenia oraz kongruencji. Pierwszy warunek spełnia każda liczba o cyfrze jednośći 9, czyli 9,19,29,39... . Wśród tych liczb szuka spełniającej także drugi warunek, jest nią 29. Liczby spełniające dwa pierwsze warunki będą powiększone o całkowitą wielokrotnośći liczby 30 (NWW(10,15)) liczbę 29, czyli 29,59,89,119.. . Wśród tych liczb szukamy liczby spełniającej jeszcze trzeci warunek, pierwszą z nich jest 209.

mat-fiz · Post autor: **mat-fiz** » 9 lip 2009, o 10:43

Tu się chyba pomyliłeś, bo liczba 209 spełnia tylko pierwszy warunek

Post autor: **xanowron** » 9 lip 2009, o 10:56

\(\displaystyle{ 209}\) spełnia wszystkie warunki, sprawdź jeszcze raz.

Post autor: **smigol** » 9 lip 2009, o 18:06

no niestety to rozumowanie nie doprowadza nas do wszystkich wyników, chyba, że dalej sprawdząc, co jest uciążliwe.

a-szukana liczba
x,y,z - liczby całkowite.
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=10x-1 \\ a=15y-1 \\a=21z-1 \end{cases}}\)
no i teraz widzimy, że a+1 jest podzielna przez 10,15,21, NWW tych liczb to 210, więc sprawdzamy przypadki, gdy
a+1=210
a+1=420
a+1=630
a+1=740
a+1=950

me123 · Post autor: **me123** » 9 lip 2009, o 18:36

xanowron pisze:\(\displaystyle{ 209}\) spełnia wszystkie warunki, sprawdź jeszcze raz.

racja
mozna to łatwo wydedukować jeżeli liczbę tą której szukamy powiekszymy o 1 to bedzie ona podzielna przez 10, 15, 21 czyli przez 2,5,3,7 jak pomnożysz wychodzi 210, odejmujesz 1 i po wszystkim:))

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 9 lip 2009, o 18:40

Napisałem jak ostatniego nie było.
Bardzo się nie wpatrywałem - ale w przedostatnim jest raczej coś nie tak z oznaczeniami.

Oczywiście idea dobra - szukamy liczb podzielnych jednocześnie przez 10, 15, 21 i otrzymane pomniejszamy o 1.

Post autor: **smigol** » 9 lip 2009, o 18:44

piasek101 pisze:Napisałem jak ostatniego nie było.
Bardzo się nie wpatrywałem - ale w przedostatnim jest raczej coś nie tak z oznaczeniami.

Oczywiście idea dobra - szukamy liczb podzielnych jednocześnie przez 10, 15, 21 i otrzymane pomniejszamy o 1.

bo dlaczego?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 9 lip 2009, o 19:00

smigol pisze:bo dlaczego?

Napisałeś :
,,a - szukane
x - całkowite

a = 10x - 1

x - 1 = 210 "

Z ostatniego x = 211; wstawiam do pierwszego a = 2110 - 1 (a w treści a < 1000); wziąłem Twoje najmniejsze (x).

Post autor: **smigol** » 9 lip 2009, o 19:07

ajjć, przepraszam, zwracam honor. Nie zwróciłem na to uwagi, bez kartki i pewnie dlatego, już poprawiam

mat-fiz · Post autor: **mat-fiz** » 9 lip 2009, o 22:08

Smigol ma racje, dobry pomysł na rozwiązanie tego zadania. Gratulacje i dzięki.