Układ równań

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
anulka015
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 8 paź 2006, o 21:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Układ równań

Post autor: anulka015 »

\(\displaystyle{ x ^2 +xy + y ^2=7}\)
\(\displaystyle{ x ^3y+xy ^3=10}\)

Rozwiąż układ równań;) z góry dziękuje tu chyba jakiś wzór skróconego mnożenia się w znajdzie ale ja nie mogę go dostrzec...
Ostatnio zmieniony 7 mar 2009, o 22:18 przez Nakahed90, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa zapisu. Umieszczaj całe wyrażenia matematyczne w klamrach [latex][/latex].
Awatar użytkownika
marcinn12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 882
Rejestracja: 23 sty 2007, o 15:06
Płeć: Kobieta
Podziękował: 61 razy
Pomógł: 193 razy

Układ równań

Post autor: marcinn12 »

\(\displaystyle{ \begin{cases} x ^2 +xy + y ^2=7 \\ x ^3y+xy ^3=10 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} (x+y)^{2}=7 \\ xy(x^{2}+y^{2})-2xy=10 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} (x+y)^{2}=7 \\ 7xy-2xy=10 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} (x+y)^{2}=7 \\ x= \frac{2}{y} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} (\frac{2}{y}+y)^{2}=7 \\ x= \frac{2}{y} \end{cases}}\)


itd
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Układ równań

Post autor: bosa_Nike »

Oba równania są symetryczne względem zmiennych. To oznacza, że jeżeli para \(\displaystyle{ (x,y)=(s,t)}\) spełnia układ, to spełnia ten układ również para \(\displaystyle{ (x,y)=(t,s)}\).

Oznaczając \(\displaystyle{ x+y=p,\ xy=q}\) dostajemy:

\(\displaystyle{ \begin{cases}x^2+xy+y^2=(x^2+2xy+y^2)-xy=(x+y)^2-xy=p^2-q=7\\ xy(x^2+y^2)=xy\left((x+y)^2-2xy\right)=q\left(p^2-2q\right)=q\left(7-q\right)=10\end{cases}}\)

Z drugiego więc \(\displaystyle{ q=2\ \vee\ q=5}\).

W pierwszym przypadku \(\displaystyle{ p^2=7+q=9\ \Rightarrow\ p=\pm 3}\).

Do rozwiązania są dwa układy równań (zapisuję jako jeden):

\(\displaystyle{ \begin{cases}p=x+y=\pm 3\\q=xy=2\end{cases}}\)

Stąd (Viete) \(\displaystyle{ x,y}\) są rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ z^2-pz+q=0}\).

To daje \(\displaystyle{ (x,y)\in\{(-1,-2),(-2,-1),(1,2),(2,1)\}}\). Wszystkie wyznaczone pary spełniają wyjściowy układ.

Drugi przypadek tzn. \(\displaystyle{ q=5}\) analogicznie (brak rozwiązań).
ODPOWIEDZ