Pierwiastek ułamkowego stopnia - jak to liczyć?
Pierwiastek ułamkowego stopnia - jak to liczyć?
Jak się liczy pierwiastek ułamkowego stopnia (dodatni i ujemny)? Mam np. \(\displaystyle{ \sqrt[\frac{a}{b}]{x}=y}\), jak wyliczyć y? Analogicznie dla \(\displaystyle{ \sqrt[-\frac{a}{b}]{x}=y}\), jak wtedy wyliczyć y?
-
- Administrator
- Posty: 34239
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Pierwiastek ułamkowego stopnia - jak to liczyć?
Nie definiuje się pierwiastków o stopniach niebędących liczbami naturalnymi dodatnimi.
JK
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 30 cze 2022, o 14:58
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 18
Re: Pierwiastek ułamkowego stopnia - jak to liczyć?
Może to niezgodne z definicją pierwiastka czy czymkolwiek innym, ale tak na chłopski rozum, to można to zamienić na potęgę:
\(\displaystyle{ \sqrt[ \frac{a}{b} ]{x} = x^{ \frac{1}{ \frac{a}{b} } } = x^{ \frac{b}{a}} = \sqrt[a]{x^{b}} }\)
I wychodzi uproszczony pierwiastek.
Dla przykładu:
\(\displaystyle{ \sqrt[ \frac{2}{3} ]{6} = 6^{ \frac{1}{ \frac{2}{3} } } = 6^{ \frac{3}{2}} = \sqrt[2]{6^{3}} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}}\)
Nie jestem tej teorii pewien, ale sama się narzuca
Dodano po 2 godzinach 5 minutach :
Dla uzupełnienia spróbuję to wszystko sprawdzić podnosząc powyższy wynik do potęgi, która równa jest stopniowi pierwiastka:
\(\displaystyle{ (6\sqrt{6})^ \frac{2}{3} = \sqrt[3]{(6\sqrt{6})^2} = \sqrt[3]{36\cdot6} = \sqrt[3]{216} = 6 }\)
Jak widać, wszystko się zgodziło. Zastosowaliśmy wszelkie reguły potęgowania, więc nie wiem, dlaczego nie uznać by jednak pierwiastków o ułamkowym stopniu.
\(\displaystyle{ \sqrt[ \frac{a}{b} ]{x} = x^{ \frac{1}{ \frac{a}{b} } } = x^{ \frac{b}{a}} = \sqrt[a]{x^{b}} }\)
I wychodzi uproszczony pierwiastek.
Dla przykładu:
\(\displaystyle{ \sqrt[ \frac{2}{3} ]{6} = 6^{ \frac{1}{ \frac{2}{3} } } = 6^{ \frac{3}{2}} = \sqrt[2]{6^{3}} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}}\)
Nie jestem tej teorii pewien, ale sama się narzuca
Dodano po 2 godzinach 5 minutach :
Dla uzupełnienia spróbuję to wszystko sprawdzić podnosząc powyższy wynik do potęgi, która równa jest stopniowi pierwiastka:
\(\displaystyle{ (6\sqrt{6})^ \frac{2}{3} = \sqrt[3]{(6\sqrt{6})^2} = \sqrt[3]{36\cdot6} = \sqrt[3]{216} = 6 }\)
Jak widać, wszystko się zgodziło. Zastosowaliśmy wszelkie reguły potęgowania, więc nie wiem, dlaczego nie uznać by jednak pierwiastków o ułamkowym stopniu.
-
- Administrator
- Posty: 34239
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Pierwiastek ułamkowego stopnia - jak to liczyć?
Już wieki temu mądry Ockham mówił, żeby nie mnożyć zbędnych bytów...Jasio770077 pisze: ↑30 cze 2022, o 17:21więc nie wiem, dlaczego nie uznać by jednak pierwiastków o ułamkowym stopniu.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 22207
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3754 razy
Re: Pierwiastek ułamkowego stopnia - jak to liczyć?
Zdefiniować można co się chce, ale trzeba być wyjątkowym masochistą, żeby napisać taki pierwiastek
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 30 cze 2022, o 14:58
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 18
Re: Pierwiastek ułamkowego stopnia - jak to liczyć?
Faktycznie, można to wszystko zastąpić potęgami albo po prostu zostawić. W każdym razie to było tylko rozważane teoretycznie, na potrzeby pytania. Ale gdyby zastosować zasadę, że nad niepotrzebnymi rzeczami się zastanawiać nie trzeba, to bardzo proszę o dowody, że całki są przydatne czy chociaż występują w tym świecie.Jan Kraszewski pisze: ↑30 cze 2022, o 17:44Już wieki temu mądry Ockham mówił, żeby nie mnożyć zbędnych bytów...Jasio770077 pisze: ↑30 cze 2022, o 17:21więc nie wiem, dlaczego nie uznać by jednak pierwiastków o ułamkowym stopniu.
JK
-
- Administrator
- Posty: 34239
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Pierwiastek ułamkowego stopnia - jak to liczyć?
Brzytwa Ockhama mówi co innego. Możesz zastanawiać się nad czym chcesz i nikt tego nie zamierza limitować, natomiast wprowadzanie dodatkowego oznaczenia "pierwiastka ułamkowego" jest typowym przykładem mnożenia zbędnych bytów. To oznaczenie jest zbędne, bo niczego nie wnosi i dlatego właśnie matematycy nie używają "pierwiastków ułamkowych".Jasio770077 pisze: ↑1 lip 2022, o 21:41Ale gdyby zastosować zasadę, że nad niepotrzebnymi rzeczami się zastanawiać nie trzeba,
A tu bardzo przestrzeliłeś, a jakoś nie chce mi się tłumaczyć Ci dlaczego, tym bardziej, że zrobiłby się z tego off-top. Jeżeli masz wątpliwości co do przydatności całek, to załóż stosowny temat w "Dyskusjach o matematyce" - nie wątpię, że ktoś na pewno wytłumaczy Ci, dlaczego się mylisz.Jasio770077 pisze: ↑1 lip 2022, o 21:41to bardzo proszę o dowody, że całki są przydatne czy chociaż występują w tym świecie.
JK