Pierwiastek ułamkowego stopnia - jak to liczyć?

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
hubot
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 165
Rejestracja: 4 sty 2015, o 19:55
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy

Pierwiastek ułamkowego stopnia - jak to liczyć?

Post autor: hubot »

Jak się liczy pierwiastek ułamkowego stopnia (dodatni i ujemny)? Mam np. \(\displaystyle{ \sqrt[\frac{a}{b}]{x}=y}\), jak wyliczyć y? Analogicznie dla \(\displaystyle{ \sqrt[-\frac{a}{b}]{x}=y}\), jak wtedy wyliczyć y?
florek177
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3018
Rejestracja: 23 mar 2005, o 10:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 322 razy

Pierwiastek ułamkowego stopnia - jak to liczyć?

Post autor: florek177 »

Zamień pierwiastek na potęgę.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Pierwiastek ułamkowego stopnia - jak to liczyć?

Post autor: Jan Kraszewski »

Nie definiuje się pierwiastków o stopniach niebędących liczbami naturalnymi dodatnimi.

JK
Jasio770077
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 30 cze 2022, o 14:58
Płeć: Mężczyzna
wiek: 18

Re: Pierwiastek ułamkowego stopnia - jak to liczyć?

Post autor: Jasio770077 »

Może to niezgodne z definicją pierwiastka czy czymkolwiek innym, ale tak na chłopski rozum, to można to zamienić na potęgę:
\(\displaystyle{ \sqrt[ \frac{a}{b} ]{x} = x^{ \frac{1}{ \frac{a}{b} } } = x^{ \frac{b}{a}} = \sqrt[a]{x^{b}} }\)
I wychodzi uproszczony pierwiastek.
Dla przykładu:
\(\displaystyle{ \sqrt[ \frac{2}{3} ]{6} = 6^{ \frac{1}{ \frac{2}{3} } } = 6^{ \frac{3}{2}} = \sqrt[2]{6^{3}} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}}\)
Nie jestem tej teorii pewien, ale sama się narzuca :)

Dodano po 2 godzinach 5 minutach :
Dla uzupełnienia spróbuję to wszystko sprawdzić podnosząc powyższy wynik do potęgi, która równa jest stopniowi pierwiastka:
\(\displaystyle{ (6\sqrt{6})^ \frac{2}{3} = \sqrt[3]{(6\sqrt{6})^2} = \sqrt[3]{36\cdot6} = \sqrt[3]{216} = 6 }\)
Jak widać, wszystko się zgodziło. Zastosowaliśmy wszelkie reguły potęgowania, więc nie wiem, dlaczego nie uznać by jednak pierwiastków o ułamkowym stopniu.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Pierwiastek ułamkowego stopnia - jak to liczyć?

Post autor: Jan Kraszewski »

Jasio770077 pisze: 30 cze 2022, o 17:21więc nie wiem, dlaczego nie uznać by jednak pierwiastków o ułamkowym stopniu.
Już wieki temu mądry Ockham mówił, żeby nie mnożyć zbędnych bytów...

JK
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Pierwiastek ułamkowego stopnia - jak to liczyć?

Post autor: a4karo »

Zdefiniować można co się chce, ale trzeba być wyjątkowym masochistą, żeby napisać taki pierwiastek
Jasio770077
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 30 cze 2022, o 14:58
Płeć: Mężczyzna
wiek: 18

Re: Pierwiastek ułamkowego stopnia - jak to liczyć?

Post autor: Jasio770077 »

Jan Kraszewski pisze: 30 cze 2022, o 17:44
Jasio770077 pisze: 30 cze 2022, o 17:21więc nie wiem, dlaczego nie uznać by jednak pierwiastków o ułamkowym stopniu.
Już wieki temu mądry Ockham mówił, żeby nie mnożyć zbędnych bytów...

JK
Faktycznie, można to wszystko zastąpić potęgami albo po prostu zostawić. W każdym razie to było tylko rozważane teoretycznie, na potrzeby pytania. Ale gdyby zastosować zasadę, że nad niepotrzebnymi rzeczami się zastanawiać nie trzeba, to bardzo proszę o dowody, że całki są przydatne czy chociaż występują w tym świecie.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Pierwiastek ułamkowego stopnia - jak to liczyć?

Post autor: Jan Kraszewski »

Jasio770077 pisze: 1 lip 2022, o 21:41Ale gdyby zastosować zasadę, że nad niepotrzebnymi rzeczami się zastanawiać nie trzeba,
Brzytwa Ockhama mówi co innego. Możesz zastanawiać się nad czym chcesz i nikt tego nie zamierza limitować, natomiast wprowadzanie dodatkowego oznaczenia "pierwiastka ułamkowego" jest typowym przykładem mnożenia zbędnych bytów. To oznaczenie jest zbędne, bo niczego nie wnosi i dlatego właśnie matematycy nie używają "pierwiastków ułamkowych".
Jasio770077 pisze: 1 lip 2022, o 21:41to bardzo proszę o dowody, że całki są przydatne czy chociaż występują w tym świecie.
A tu bardzo przestrzeliłeś, a jakoś nie chce mi się tłumaczyć Ci dlaczego, tym bardziej, że zrobiłby się z tego off-top. Jeżeli masz wątpliwości co do przydatności całek, to załóż stosowny temat w "Dyskusjach o matematyce" - nie wątpię, że ktoś na pewno wytłumaczy Ci, dlaczego się mylisz.

JK
ODPOWIEDZ