Dowód nierówność z dwoma niewiadomymi

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
poetaopole
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 354
Rejestracja: 21 maja 2013, o 09:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Opole
Podziękował: 194 razy

Dowód nierówność z dwoma niewiadomymi

Post autor: poetaopole » 14 sty 2022, o 07:12

Udowodnij, że dla dowolnego \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b>1}\) zachodzi: \(\displaystyle{ a ^{2} -ab+b ^{2}>a. }\)
Ostatnio zmieniony 14 sty 2022, o 09:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19815
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 3369 razy

Re: Dowód nierówność z dwoma niewiadomymi

Post autor: a4karo » 14 sty 2022, o 09:31

WSK. Odejmij `ab` od obu stron.
Ostatnio zmieniony 14 sty 2022, o 09:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

poetaopole
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 354
Rejestracja: 21 maja 2013, o 09:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Opole
Podziękował: 194 razy

Re: Dowód nierówność z dwoma niewiadomymi

Post autor: poetaopole » 14 sty 2022, o 12:07

świetnie, ale dla a ujemnego chyba brakuje pewności co do prawdziwości tezy? Co Ty na to?

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8097
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 267 razy
Pomógł: 3168 razy

Re: Dowód nierówność z dwoma niewiadomymi

Post autor: kerajs » 14 sty 2022, o 12:09

poetaopole pisze:
14 sty 2022, o 12:07
świetnie, ale dla a ujemnego chyba brakuje pewności co do prawdziwości tezy?
Nie, teza jest prawdziwa.
\(\displaystyle{ a ^{2} -ab+b ^{2}-a>0 \\
\frac{1}{2} ((a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)(b+1))>0
}\)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19815
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 3369 razy

Re: Dowód nierówność z dwoma niewiadomymi

Post autor: a4karo » 14 sty 2022, o 12:37

Dla `a<0` lewa strona jest dodatnia (bo wyróżnik trójmianu jest ujemny), a prawa ujemna.

poetaopole
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 354
Rejestracja: 21 maja 2013, o 09:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Opole
Podziękował: 194 razy

Re: Dowód nierówność z dwoma niewiadomymi

Post autor: poetaopole » 14 sty 2022, o 12:57

Jak zawsze KERAJS wyjaśnił wszelkie wątpliwości. Dziękuję (moja uwaga była skierowania do a4karo po wskazówce, aby odjąć \(\displaystyle{ ab}\) od obu stron tezy)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19815
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 3369 razy

Re: Dowód nierówność z dwoma niewiadomymi

Post autor: a4karo » 15 sty 2022, o 06:44

Albo tak:
Wyróżnikiem trójmianu `w(a)=a^2-a(b+1)+b^2` jest `(b+1)^2-4b^2=-(b-1)(3b+1)<0` dla `b>1`.

Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2634
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 368 razy

Re: Dowód nierówność z dwoma niewiadomymi

Post autor: Dilectus » 15 sty 2022, o 11:29

poetaopole pisze:
14 sty 2022, o 07:12
Udowodnij, że dla dowolnego \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b>1}\) zachodzi: \(\displaystyle{ a ^{2} -ab+b ^{2}>a. }\)
Zauważmy, że

\(\displaystyle{ a ^{2} -ab+b ^{2} = (a-b)^2+ab. }\)

Ponieważ \(\displaystyle{ a>1}\) i \(\displaystyle{ b>1}\), więc \(\displaystyle{ ab>a}\)

Do tego \(\displaystyle{ (a-b)^2 \ge 0}\)

Zatem

\(\displaystyle{ a ^{2} -ab+b ^{2} = (a-b)^2+ab. \ge ab >a }\)

:)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15403
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 174 razy
Pomógł: 5134 razy

Re: Dowód nierówność z dwoma niewiadomymi

Post autor: Premislav » 15 sty 2022, o 12:05

Błędne rozwiązanie. Nierówność \(\displaystyle{ ab>a}\) jest niepoprawna na przykład dla \(\displaystyle{ a=0}\), a mamy dowieść prawdziwości nierówności dla dowolnych \(\displaystyle{ a\in \RR}\), przynajmniej tak to rozumiem. To \(\displaystyle{ b}\) jest z założenia większe niż \(\displaystyle{ 1}\).

Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2634
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 368 razy

Re: Dowód nierówność z dwoma niewiadomymi

Post autor: Dilectus » 16 sty 2022, o 00:18

Premislav pisze:
15 sty 2022, o 12:05
Błędne rozwiązanie. Nierówność \(\displaystyle{ ab>a}\) jest niepoprawna na przykład dla \(\displaystyle{ a=0}\), a mamy dowieść prawdziwości nierówności dla dowolnych \(\displaystyle{ a\in \RR}\), przynajmniej tak to rozumiem. To \(\displaystyle{ b}\) jest z założenia większe niż \(\displaystyle{ 1}\).
Napis
dla dowolnego \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b>1}\)
rozumiem tak: Dla dowolnego \(\displaystyle{ a>1}\) i dowolnego \(\displaystyle{ b>1.}\)
Ostatnio zmieniony 16 sty 2022, o 00:24 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 29417
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4767 razy

Re: Dowód nierówność z dwoma niewiadomymi

Post autor: Jan Kraszewski » 16 sty 2022, o 00:24

Dilectus pisze:
16 sty 2022, o 00:18
Napis
dla dowolnego \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b>1}\)
rozumiem tak: Dla dowolnego \(\displaystyle{ a>1}\) i dowolnego \(\displaystyle{ b>1.}\)
To wygląda jednak na sporą nadinterpretację.

JK

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19815
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 3369 razy

Re: Dowód nierówność z dwoma niewiadomymi

Post autor: a4karo » 16 sty 2022, o 09:23

W pierwszym czytaniu też tak zinterpretowałem treść zadania

ODPOWIEDZ