Trudny układ równań

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Lukay
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 29 lis 2021, o 18:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 27
Podziękował: 1 raz

Trudny układ równań

Post autor: Lukay »

Witam,
Potrzebuję pomocy przy rozwiązaniu układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (a - x)^2 + (b - y)^2 + (c - z)^2 = 3600\\
(d - x)^2 + (e - y)^2 + (f - z)^2 = 3600\\
(j - x)^2 + (k - y)^2 + (l - z)^2 = 3600\end{cases} }\)


\(\displaystyle{ x,y,z}\) - niewiadome
Ostatnio zmieniony 29 lis 2021, o 18:40 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm.
szw1710

Re: Trudny układ równań

Post autor: szw1710 »

Widać stąd, że odległości punktów \(A(a,b,c),B(d,e,f),C(j,k,l)\) od punktu \(S(x,y,z)\) są równe \(60\). Tak więc \(S\) jest środkiem okręgu zawierającego \(A,B,C\), jeśli są one niewspółliniowe. Wtedy \(S\) jest punktem przecięcia symetralnych odcinków \(AB\) i \(AC\) zawartych w płaszczyźnie \(ABC\), a to można łatwo wyliczyć.

Jeśli \(A,B,C\) są współliniowe, to może być różnie. Ale może warto spojrzeć na to geometrycznie.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Trudny układ równań

Post autor: a4karo »

szw1710 pisze: 29 lis 2021, o 20:10 Widać stąd, że odległości punktów \(A(a,b,c),B(d,e,f),C(j,k,l)\) od punktu \(S(x,y,z)\) są równe \(60\). Tak więc \(S\) jest środkiem okręgu zawierającego \(A,B,C\), jeśli są one niewspółliniowe. Wtedy \(S\) jest punktem przecięcia symetralnych odcinków \(AB\) i \(AC\) zawartych w płaszczyźnie \(ABC\), a to można łatwo wyliczyć.

Jeśli \(A,B,C\) są współliniowe, to może być różnie. Ale może warto spojrzeć na to geometrycznie.
Tak prosto nie będzie: punkt `S` nie jest środkiem okręgu, tylko środkiem kuli i wcale nie musi leżeć w płaszczyźnie `ABC`.
Lukay
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 29 lis 2021, o 18:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 27
Podziękował: 1 raz

Re: Trudny układ równań

Post autor: Lukay »

Dokładnie, jest to kula oparta na trzech punktach. Potrzebuję znać jej środek. Sprawa nie jest prosta. WolframAlpha potrafi wyznaczyć ten środek jedynie po podstawieniu liczb. Na zmiennych parametrycznych nie daje rady, a ja potrzebuję chociaż coś na wzór przybliżony abym mógł to zaimplementować do Excela i zmieniać położenia punktów oraz odczytywać środek kuli.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Trudny układ równań

Post autor: Dasio11 »

Rozwiązaniami układu równań są punkty leżące na przecięciu trzech sfer, które w typowym przypadku składa się z zera lub dwóch punktów (a w nietypowym z jednego lub nieskończenie wielu), zatem układ nie ma jednoznacznego rozwiązania.
Lukay
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 29 lis 2021, o 18:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 27
Podziękował: 1 raz

Re: Trudny układ równań

Post autor: Lukay »

Niewiadome to x, y, z. Rozwiązaniem równania jest kula o promieniu 60 o środku w punkcie (x, y, z). Według mnie układ może nie mieć rozwiązań, jeżeli punkty będą współliniowe, lub mieć 2 rozwiązania w zależności z której strony będzie styczna kula do tych punktów.
Dane to punkty, niewiadomą jest środek kuli opartej na tych punkach.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Trudny układ równań

Post autor: Dasio11 »

Lukay pisze: 30 lis 2021, o 11:33Według mnie układ może nie mieć rozwiązań, jeżeli punkty będą współliniowe
To nie jedyny przypadek - wystarczy żeby punkt \(\displaystyle{ (a, b, c)}\) był odległy od \(\displaystyle{ (d, e, f)}\) o więcej niż \(\displaystyle{ 120}\) i wtedy też układ będzie sprzeczny.

Tak czy inaczej: skoro zgadzasz się, że na ogół układ nie ma jedynego rozwiązania, to nie mogą też istnieć wzory na to rozwiązanie - czego więc dokładnie oczekujesz?
Lukay
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 29 lis 2021, o 18:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 27
Podziękował: 1 raz

Re: Trudny układ równań

Post autor: Lukay »

Tak naprawdę, interesowałby mnie "wzory" dla przypadków w których układ ma rozwiązania. Czyli dla przypadków, w których spełnione są warunki które na to pozwalają.
Kwestia jak podejść do tematu aby numerycznie to rozwiązać.
Wieczorem prześlę screeny jak to liczy program dla przypadku z liczbami. Może będzie coś dało się z tego wykrzesać 😉
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Trudny układ równań

Post autor: a4karo »

Jeżeli trzy punkty są współliniowe i różne, to rozwiązanie nie istnieje. Jeżeli dwa punkty się pokrywają a trzeci jest inny rozwiązaniem będzie okrąg w płaszczyźnie prostopadłej do odcinka łączącego te dwa punkty i przechodzącej przez jego środek, przy czym w zależności od odległości punktów okrąg może się redukować do punktu, lub być zbiorek pustym

Najciekawszy jest przypadek, gdy trzy punkty nie są współliniowe. Rozważmy punkt `S`, który jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie `ABC` i leżącym w jego płaszczyźnie. Jeżeli promień tego okręgu jest większy niż `60`, to układ nie ma rozwiązań. Jeżeli promień okręgu był równy `60`, to `S` jest szukanym punktem. W przypadku trzecim wszystkie punkty leżące na prostej prostopadłej do tej płaszczyzny i przechodzącej przez `S` są równoodległe od punktów `A`, `B` i `C` i łątwo znajdziemy na niej dwa rozwiązania układu.

Równanie prostej równo odległej od wszystkich punktów znajdziemy odejmując równanie 1 od 2 oraz 2 od 3.

Dodano po 20 sekundach:
Wzory sobie łatwo wyprowadzisz.

Dodano po 2 minutach 48 sekundach:
Idea jest taka: piszesz równanie płaszczyzny `\pi` zawierającej trzy punkty. Wyznaczasz punkt `S`
Piszesz równanie prostej prostopadłej `p` (najprościej parametryczne)
Badasz odległóśc punktu na `p` od np. punktu `A`
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Trudny układ równań

Post autor: arek1357 »

Przecież układ ten łatwo zamienić na układ dwóch równań z trzema niewiadomymi ale liniowymi, oczywiście będą przypadki kiedy układ będzie oznaczony , nieoznaczony, itd, a potem otrzymamy normalne równanie kwadratowe z jedną zmienną liczenia sporo ale idea prosta...
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Trudny układ równań

Post autor: a4karo »

Okazuje się, że rachunki jednak sa dość trywialne:

Układ dwóch równań liniowych, który otrzymamy odejmując parami równania układu jest jednorodny. Zatem jego rozwiązaniem jest prosta przechodząca przez początek układu, czyli prosta postaci `t\vec{v}`, gdzie `\vec{v}` jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny `ABC`, czyli równoległym do wektora `\vec{AB}\times\vec{AC}`.
Rozwiązanie układu sprowadza się zatem do poszukania na prostej punktu odległego od `A` o `60`, czyli na rozwiązaniu równania kwadratowego
`||t\vec{AB}\times\vec{AC} - [a,b,c]||=3600`
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Trudny układ równań

Post autor: Dasio11 »

a4karo pisze: 4 gru 2021, o 06:07Układ dwóch równań liniowych, który otrzymamy odejmując parami równania układu jest jednorodny.
Nie jest, bo zostanie wyraz wolny \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2 - d^2 - e^2 - f^2}\).
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Trudny układ równań

Post autor: a4karo »

Fakt. Odszczekuje
Lukay
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 29 lis 2021, o 18:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 27
Podziękował: 1 raz

Re: Trudny układ równań

Post autor: Lukay »

Z waszymi podpowiedziami oraz z Jak obliczyć środek sfery? udało mi się rozwiązać układ równań dla kuli opartej na 3 punktach. Teraz głowie się nad układem równań i jego rozwiązaniem gdy kula opiera się na 2 punkach oraz plaszczyźnie z=0. Jakieś pomysły. Pewnie znowu sprawa jest prosta. Ale obecnie mam pustkę w głowie.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Trudny układ równań

Post autor: a4karo »

Popatrz gdzie się przecina płaszczyzna symetralna odcinka z płaszczyzna `z=\pm r`
ODPOWIEDZ