najmniejsza wartość wyrażenia - dla jakich a i b?

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Jim Moriarty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 22 paź 2021, o 18:44
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Podziękował: 4 razy

najmniejsza wartość wyrażenia - dla jakich a i b?

Post autor: Jim Moriarty » 24 lis 2021, o 15:48

Mam znaleźć najmniejszą wartość wyrażenia \(\displaystyle{ 2a ^{2} -2ab+b^{2}-2a+2}\).
Rozumiem, że muszę to sprowadzić do postaci kanonicznej, by odczytać najmniejszą wartość z wierzchołka.
Nie mam jednak pojęcia jak to zrobić przez fakt, że powtarza się tutaj dwukrotnie sam wyraz \(\displaystyle{ a}\), więc nie wiem jak to zwinąć do jednego wzoru na kwadrat sumy.

Awatar użytkownika
Psiaczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1474
Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 468 razy

Re: najmniejsza wartość wyrażenia - dla jakich a i b?

Post autor: Psiaczek » 24 lis 2021, o 16:39

Standardowy trick wygląda tak:

\(\displaystyle{ 2a^2−2ab+b^2−2a+2=a^2-2ab+b^2+a^2-2a+1+1=(a-b)^2+(a-1)^2+1}\)

Obydwa kwadraty przyjmą wartość zero gdy \(\displaystyle{ a-b=0 \wedge a-1=0}\)

czyli dla \(\displaystyle{ a=1,b=1}\) i wtedy wyrażenie przyjmie wartość \(\displaystyle{ 1}\)

ODPOWIEDZ