Mam znaleźć najmniejszą wartość wyrażenia \(\displaystyle{ 2a ^{2} -2ab+b^{2}-2a+2}\).
Rozumiem, że muszę to sprowadzić do postaci kanonicznej, by odczytać najmniejszą wartość z wierzchołka.
Nie mam jednak pojęcia jak to zrobić przez fakt, że powtarza się tutaj dwukrotnie sam wyraz \(\displaystyle{ a}\), więc nie wiem jak to zwinąć do jednego wzoru na kwadrat sumy.
najmniejsza wartość wyrażenia - dla jakich a i b?
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 22 paź 2021, o 18:44
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 21
- Podziękował: 4 razy
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
Re: najmniejsza wartość wyrażenia - dla jakich a i b?
Standardowy trick wygląda tak:
\(\displaystyle{ 2a^2−2ab+b^2−2a+2=a^2-2ab+b^2+a^2-2a+1+1=(a-b)^2+(a-1)^2+1}\)
Obydwa kwadraty przyjmą wartość zero gdy \(\displaystyle{ a-b=0 \wedge a-1=0}\)
czyli dla \(\displaystyle{ a=1,b=1}\) i wtedy wyrażenie przyjmie wartość \(\displaystyle{ 1}\)
\(\displaystyle{ 2a^2−2ab+b^2−2a+2=a^2-2ab+b^2+a^2-2a+1+1=(a-b)^2+(a-1)^2+1}\)
Obydwa kwadraty przyjmą wartość zero gdy \(\displaystyle{ a-b=0 \wedge a-1=0}\)
czyli dla \(\displaystyle{ a=1,b=1}\) i wtedy wyrażenie przyjmie wartość \(\displaystyle{ 1}\)