Nierówność średnich kwadratowej i arytmetycznej

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
leszekgrucel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 30 sty 2011, o 00:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Podlasie

Nierówność średnich kwadratowej i arytmetycznej

Post autor: leszekgrucel » 13 paź 2021, o 18:09

treść zadania:
Udowodnij, ze dla dowolnego trójkąta o długościach boków \(\displaystyle{ a, b, c}\) mamy \(\displaystyle{ 2\sqrt{a^2+b^2+c^2}<\sqrt{3}(a+b+c)}\)


co przekształceniu
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}} < \frac{a+b+c}{2} }\) i mam zależność między średnią kwadratową a arytmetyczną.


Tylko, że udowodniłem coś takiego \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}} \ge \frac{a+b+c}{3} }\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3377
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 76 razy
Pomógł: 1163 razy

Re: Nierówność średnich kwadratowej i arytmetycznej

Post autor: Janusz Tracz » 13 paź 2021, o 18:46

leszekgrucel pisze:
13 paź 2021, o 18:09
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}} < \frac{a+b+c}{2} }\) i mam zależność między średnią kwadratową a arytmetyczną.
Nie mamy tu średniej arytmetycznej więc nie bardzo. Za to podstawienia Raviego powinno ładnie zadziałać (gdzieś trzeba skorzystać z faktu, że \(\displaystyle{ a,b,c}\) to boki trójkąta).

leszekgrucel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 30 sty 2011, o 00:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Podlasie

Re: Nierówność średnich kwadratowej i arytmetycznej

Post autor: leszekgrucel » 13 paź 2021, o 19:06

strona 6 Twierdzenie 3 (Nierówność między średnimi: kwadratową, arytmetyczną i geometryczną), wskazana nierówność
https://www.mimuw.edu.pl/~amecel/popula ... a-wyk1.pdf

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3377
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 76 razy
Pomógł: 1163 razy

Re: Nierówność średnich kwadratowej i arytmetycznej

Post autor: Janusz Tracz » 13 paź 2021, o 19:17

leszekgrucel pisze:
13 paź 2021, o 19:06
strona 6 Twierdzenie 3 (Nierówność między średnimi: kwadratową, arytmetyczną i geometryczną), wskazana nierówność
https://www.mimuw.edu.pl/~amecel/popula ... a-wyk1.pdf
Literówka. Zobacz na Twierdzenie 3 w ogólnej postaci i przyjmij \(\displaystyle{ n=3}\). Swoją drogą zobacz też Twierdzenie 2 czyli podstawienie Raviego.

leszekgrucel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 30 sty 2011, o 00:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Podlasie

Re: Nierówność średnich kwadratowej i arytmetycznej

Post autor: leszekgrucel » 14 paź 2021, o 10:07

Dziękuję zadanie rozwiązane, podstawienie zadziałało.

ODPOWIEDZ