nierówność w liczbach naturalnych
-
- Użytkownik
- Posty: 117
- Rejestracja: 13 paź 2017, o 08:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tu
- Podziękował: 42 razy
nierówność w liczbach naturalnych
Wykaż ze \(\displaystyle{ \frac{(n - m)!}{m!} \le \left(\frac{n}{2} + \frac{1}{2}\right)^{n-2m}}\) dla \(\displaystyle{ m, n \in \NN_+}\) gdzie \(\displaystyle{ 2m \le n.}\)
Ostatnio zmieniony 9 cze 2021, o 14:04 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: nierówność w liczbach naturalnych
Zaproponuję indukcję po \(\displaystyle{ n\ge 2m}\) przy ustalonym \(\displaystyle{ m\in \NN^{+}}\).
Baza indukcji: dla \(\displaystyle{ n=2m}\) mamy po prostu równość w nierówności, gdyż po obu stronach jest jedynka.
Krok indukcyjny: mamy
\(\displaystyle{ \frac{\frac{(n+1-m)!}{m!}}{\frac{(n-m)!}{m!}}\le \frac{\left(\frac{n+2}{2}\right)^{n+1-2m}}{\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n-2m}}\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow n+1-m\le \frac{n+2}{2}\cdot \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n-2m}}\).
Jednak z nierówności Bernoulliego otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{n+2}{2}\cdot \left(1+\frac{n-2m}{n+1}\right)\le \frac{n+2}{2}\cdot \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n-2m}}\)
i wystarczy nam nierówność
\(\displaystyle{ n+1-m \le \frac{n+2}{2}\cdot \left(1+\frac{n-2m}{n+1}\right)}\).
Równoważnie:
\(\displaystyle{ 2(n+1)(n+1-m)\le (n+2)(2n+1-2m)}\),
ale
\(\displaystyle{ (n+2)(2n+1-2m)-2(n+1)(n+1-m)=n-2m\ge 0}\).
Zatem jeśli dla pewnego \(\displaystyle{ n\in \NN^{+}, \ n\ge 2m}\) zajdzie
\(\displaystyle{ \frac{(n-m)!}{m!}\le \left(\frac{n+1}{2}\right)^{n-2m}}\), to
\(\displaystyle{ \frac{(n+1-m)!}{m!}=(n+1-m)\frac{(n-m)!}{m!}\\\le \frac{n+2}{2}\left(1+\frac{n-2m}{n+1}\right)\frac{(n-m)!}{m!}\\\le \frac{n+2}{2}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n-2m}\cdot \left(\frac{n+1}{2}\right)^{n-2m}\\=\left(\frac{n+2}{2}\right)^{n+1-2m}}\).
Na mocy zasady indukcji matematycznej…
Baza indukcji: dla \(\displaystyle{ n=2m}\) mamy po prostu równość w nierówności, gdyż po obu stronach jest jedynka.
Krok indukcyjny: mamy
\(\displaystyle{ \frac{\frac{(n+1-m)!}{m!}}{\frac{(n-m)!}{m!}}\le \frac{\left(\frac{n+2}{2}\right)^{n+1-2m}}{\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n-2m}}\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow n+1-m\le \frac{n+2}{2}\cdot \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n-2m}}\).
Jednak z nierówności Bernoulliego otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{n+2}{2}\cdot \left(1+\frac{n-2m}{n+1}\right)\le \frac{n+2}{2}\cdot \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n-2m}}\)
i wystarczy nam nierówność
\(\displaystyle{ n+1-m \le \frac{n+2}{2}\cdot \left(1+\frac{n-2m}{n+1}\right)}\).
Równoważnie:
\(\displaystyle{ 2(n+1)(n+1-m)\le (n+2)(2n+1-2m)}\),
ale
\(\displaystyle{ (n+2)(2n+1-2m)-2(n+1)(n+1-m)=n-2m\ge 0}\).
Zatem jeśli dla pewnego \(\displaystyle{ n\in \NN^{+}, \ n\ge 2m}\) zajdzie
\(\displaystyle{ \frac{(n-m)!}{m!}\le \left(\frac{n+1}{2}\right)^{n-2m}}\), to
\(\displaystyle{ \frac{(n+1-m)!}{m!}=(n+1-m)\frac{(n-m)!}{m!}\\\le \frac{n+2}{2}\left(1+\frac{n-2m}{n+1}\right)\frac{(n-m)!}{m!}\\\le \frac{n+2}{2}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n-2m}\cdot \left(\frac{n+1}{2}\right)^{n-2m}\\=\left(\frac{n+2}{2}\right)^{n+1-2m}}\).
Na mocy zasady indukcji matematycznej…