Wpadlibyście na to?

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2610
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 365 razy

Wpadlibyście na to?

Post autor: Dilectus » 7 lut 2021, o 20:30

Chodzi o sposób rozwiązania równania

\(\displaystyle{ (x-1)(x-2)(x-4)(x-8)=7x^2}\)

https://www.youtube.com/watch?v=wVT0zGqY2mk

:)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18815
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Re: Wpadlibyście na to?

Post autor: szw1710 » 7 lut 2021, o 22:30

Niby zna się narzędzia, ale zastosowanie jest niecodzienne. Powiem tak: też miałem pomysł, żeby wymnożyć po dwa nawiasy. Ale które... tego już nie dokończyłem.

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23256
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3195 razy

Re: Wpadlibyście na to?

Post autor: piasek101 » 8 lut 2021, o 20:39

To wygląda na przykład wymyślony pod tę metodę.

Inny podobny, nie oznacza, że trudny :

\(\displaystyle{ (1 - 2x)(x-1)=x^2 (x+1)}\) .

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18815
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Re: Wpadlibyście na to?

Post autor: szw1710 » 11 lut 2021, o 21:37

piasek101 pisze:
8 lut 2021, o 20:39
To wygląda na przykład wymyślony pod tę metodę.

Inny podobny, nie oznacza, że trudny :

\(\displaystyle{ (1 - 2x)(x-1)=x^2 (x+1)}\) .
Co nie oznacza, że nie warto go znać... :)

Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2610
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 365 razy

Re: Wpadlibyście na to?

Post autor: Dilectus » 13 kwie 2021, o 23:15

Mam dla Was niewinnie wyglądające równanko:

\(\displaystyle{ 2(x^2+2)= \sqrt{ x^3+1}}\)

Jeśli ktoś z Was - jak ja - wymięknie przy próbie rozwiązania, może zajrzeć tu: https://www.youtube.com/watch?v=rysF5emStEk

:)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27625
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4631 razy

Re: Wpadlibyście na to?

Post autor: Jan Kraszewski » 13 kwie 2021, o 23:48

Dilectus pisze:
13 kwie 2021, o 23:15
\(\displaystyle{ 2(x^2+2)= \sqrt{ x^3+1}}\)
O czymś chyba zapomniałeś...

JK

Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2610
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 365 razy

Re: Wpadlibyście na to?

Post autor: Dilectus » 14 kwie 2021, o 00:37

Rzeczywiście, dziękuję. :)
Oto poprawna wersja:

\(\displaystyle{ \displaystyle{ 2(x^2+2)= 5\sqrt{ x^3+1}}}\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15301
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 171 razy
Pomógł: 5087 razy

Re: Wpadlibyście na to?

Post autor: Premislav » 14 kwie 2021, o 00:50

Włączyłem tylko początek i tam jest tak:
\(\displaystyle{ 2\left(x^{2}+2\right)=5\sqrt{x^{3}+1}}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ x\ge -1}\), a dalej, jako że nie lubię pierwiastków, podnoszę stronami do kwadratu i mam:
\(\displaystyle{ 4\left(x^{2}+2\right)^{2}=25\left(x^{3}+1\right)\\4\left(x^{2}+2\right)^{2}=25(x+1)\left(x^{2}+2-(x+1)\right)}\)
Jeśli teraz położymy \(\displaystyle{ a=x^{2}+2, \ b=x+1}\), to dostajemy równanie
\(\displaystyle{ 4a^{2}=25b(a-b)\\\left(2a-\frac{25}{4}b\right)^{2}-\frac{225}{16}b^{2}=0\\\left(2a-\frac{25}{4}b-\frac{15}{4}b\right)\left(2a-\frac{25}{4}b+\frac{15}{4}b\right)=0}\)
Stąd dostajemy dwa równania kwadratowe do rozwiązania, a mianowicie
\(\displaystyle{ 2\left(x^{2}+2\right)=10(x+1), \ 2\left(x^{2}+2\right)=\frac{5}{2}(x+1)}\),
których rozwiązanie nie powinno nastręczyć żadnych trudności. Na koniec (jeśli zajdzie taka potrzeba, bo nie chciało mi się tego liczyć – równania kwadratowe każdy umie rozwiązywać) eliminujemy te rozwiązania, które nie spełniają warunku \(\displaystyle{ x\ge -1}\).

Jakoś inaczej to robił? NB całkiem fajny kanał (widziałem któryś poprzedni tu wrzucony filmik i zainspirowało mnie to do rozwiązania jednego z zadań w ostatnim miksie mola) plus uwielbiam melodyjność języka rosyjskiego, nieironicznie najlepszy język obok gaelickiego.

Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2610
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 365 razy

Re: Wpadlibyście na to?

Post autor: Dilectus » 14 kwie 2021, o 10:35

Premislav pisze:
14 kwie 2021, o 00:50
Jeśli teraz położymy \(\displaystyle{ a=x^{2}+2, \ b=x+1}\).
I na to nie wpadłem. O ile podstawienie \(\displaystyle{ a=x^{2}+2}\).jest oczywiste, otyle wymyślenie podstawienia \(\displaystyle{ \ b=x+1}\) przekroczyło moje siły, więc wymnożyłem wszystko i zacząłem się zmagać z wielomianem czwartego stopnia, i poległem...

:)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19351
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3270 razy

Re: Wpadlibyście na to?

Post autor: a4karo » 14 kwie 2021, o 15:52

A ja obejrzałem. Zrobił to inaczej, się też sprytnie

Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2610
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 365 razy

Re: Wpadlibyście na to?

Post autor: Dilectus » 19 kwie 2021, o 10:37

Bhaskaraćarja (sanskryt भास्कराचार्य, trl. Bhāskarācārya, czyli Bhāskara nauczyciel, Bhāskara II), (1114–1185) – matematyk i astronom indyjski - zaproponował takie oto równanie:

\(\displaystyle{ x^4-2x^2-400x=9999}\)

Spróbujcie je rozwiązać. Ja wymiękłem, a jeśli ktoś z Was też wymięknie, to rozwiązanie znajdzie tu: https://www.youtube.com/watch?v=4TV8HFmtMMg

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 438 razy

Re: Wpadlibyście na to?

Post autor: timon92 » 19 kwie 2021, o 21:39

Ukryta treść:    

Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2610
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 365 razy

Re: Wpadlibyście na to?

Post autor: Dilectus » 2 maja 2021, o 11:51

Mam dla Was ohydnie wyglądającą nierówność, która pojawiła się w Rosji na egzaminie wstępnym

\(\displaystyle{ \log_{0,5} \frac{4^{\left| x\right| +1}-4\cdot 2^{\left| x\right| +1}+5}{(2^{ \sqrt{x}+3} -2)^2+1}+ \frac{1}{2\cdot 2^{\left| x\right| }-1} >(8\cdot 2^ \sqrt{x}-1)^{-1} }\)

Szczerze mówiąc, jak ją zobaczyłem, to ręce mi opadły i wymiękłem już w trakcie jej czytania. Może wśród Was znajdzie się śmiałek, który jej podoła?

Ciekawe, co by było, gdyby w Polsce na egzaminach wstępnych były takie zadania...
Ukryta treść:    
Ostatnio zmieniony 2 maja 2021, o 12:28 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

ODPOWIEDZ