Wpadlibyście na to?

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Wpadlibyście na to?

Post autor: Dilectus »

Chodzi o sposób rozwiązania równania

\(\displaystyle{ (x-1)(x-2)(x-4)(x-8)=7x^2}\)

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=wVT0zGqY2mk


:)
szw1710

Re: Wpadlibyście na to?

Post autor: szw1710 »

Niby zna się narzędzia, ale zastosowanie jest niecodzienne. Powiem tak: też miałem pomysł, żeby wymnożyć po dwa nawiasy. Ale które... tego już nie dokończyłem.
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Re: Wpadlibyście na to?

Post autor: piasek101 »

To wygląda na przykład wymyślony pod tę metodę.

Inny podobny, nie oznacza, że trudny :

\(\displaystyle{ (1 - 2x)(x-1)=x^2 (x+1)}\) .
szw1710

Re: Wpadlibyście na to?

Post autor: szw1710 »

piasek101 pisze: 8 lut 2021, o 20:39 To wygląda na przykład wymyślony pod tę metodę.

Inny podobny, nie oznacza, że trudny :

\(\displaystyle{ (1 - 2x)(x-1)=x^2 (x+1)}\) .
Co nie oznacza, że nie warto go znać... :)
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Re: Wpadlibyście na to?

Post autor: Dilectus »

Mam dla Was niewinnie wyglądające równanko:

\(\displaystyle{ 2(x^2+2)= \sqrt{ x^3+1}}\)

Jeśli ktoś z Was - jak ja - wymięknie przy próbie rozwiązania, może zajrzeć tu:

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=rysF5emStEk


:)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Wpadlibyście na to?

Post autor: Jan Kraszewski »

Dilectus pisze: 13 kwie 2021, o 23:15 \(\displaystyle{ 2(x^2+2)= \sqrt{ x^3+1}}\)
O czymś chyba zapomniałeś...

JK
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Re: Wpadlibyście na to?

Post autor: Dilectus »

Rzeczywiście, dziękuję. :)
Oto poprawna wersja:

\(\displaystyle{ \displaystyle{ 2(x^2+2)= 5\sqrt{ x^3+1}}}\)
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Wpadlibyście na to?

Post autor: Premislav »

Włączyłem tylko początek i tam jest tak:
\(\displaystyle{ 2\left(x^{2}+2\right)=5\sqrt{x^{3}+1}}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ x\ge -1}\), a dalej, jako że nie lubię pierwiastków, podnoszę stronami do kwadratu i mam:
\(\displaystyle{ 4\left(x^{2}+2\right)^{2}=25\left(x^{3}+1\right)\\4\left(x^{2}+2\right)^{2}=25(x+1)\left(x^{2}+2-(x+1)\right)}\)
Jeśli teraz położymy \(\displaystyle{ a=x^{2}+2, \ b=x+1}\), to dostajemy równanie
\(\displaystyle{ 4a^{2}=25b(a-b)\\\left(2a-\frac{25}{4}b\right)^{2}-\frac{225}{16}b^{2}=0\\\left(2a-\frac{25}{4}b-\frac{15}{4}b\right)\left(2a-\frac{25}{4}b+\frac{15}{4}b\right)=0}\)
Stąd dostajemy dwa równania kwadratowe do rozwiązania, a mianowicie
\(\displaystyle{ 2\left(x^{2}+2\right)=10(x+1), \ 2\left(x^{2}+2\right)=\frac{5}{2}(x+1)}\),
których rozwiązanie nie powinno nastręczyć żadnych trudności. Na koniec (jeśli zajdzie taka potrzeba, bo nie chciało mi się tego liczyć – równania kwadratowe każdy umie rozwiązywać) eliminujemy te rozwiązania, które nie spełniają warunku \(\displaystyle{ x\ge -1}\).

Jakoś inaczej to robił? NB całkiem fajny kanał (widziałem któryś poprzedni tu wrzucony filmik i zainspirowało mnie to do rozwiązania jednego z zadań w ostatnim miksie mola) plus uwielbiam melodyjność języka rosyjskiego, nieironicznie najlepszy język obok gaelickiego.
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Re: Wpadlibyście na to?

Post autor: Dilectus »

Premislav pisze: 14 kwie 2021, o 00:50 Jeśli teraz położymy \(\displaystyle{ a=x^{2}+2, \ b=x+1}\).
I na to nie wpadłem. O ile podstawienie \(\displaystyle{ a=x^{2}+2}\).jest oczywiste, otyle wymyślenie podstawienia \(\displaystyle{ \ b=x+1}\) przekroczyło moje siły, więc wymnożyłem wszystko i zacząłem się zmagać z wielomianem czwartego stopnia, i poległem...

:)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Wpadlibyście na to?

Post autor: a4karo »

A ja obejrzałem. Zrobił to inaczej, się też sprytnie
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Re: Wpadlibyście na to?

Post autor: Dilectus »

Bhaskaraćarja (sanskryt भास्कराचार्य, trl. Bhāskarācārya, czyli Bhāskara nauczyciel, Bhāskara II), (1114–1185) – matematyk i astronom indyjski - zaproponował takie oto równanie:

\(\displaystyle{ x^4-2x^2-400x=9999}\)

Spróbujcie je rozwiązać. Ja wymiękłem, a jeśli ktoś z Was też wymięknie, to rozwiązanie znajdzie tu:

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=4TV8HFmtMMg
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

Re: Wpadlibyście na to?

Post autor: timon92 »

Ukryta treść:    
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Re: Wpadlibyście na to?

Post autor: Dilectus »

Mam dla Was ohydnie wyglądającą nierówność, która pojawiła się w Rosji na egzaminie wstępnym

\(\displaystyle{ \log_{0,5} \frac{4^{\left| x\right| +1}-4\cdot 2^{\left| x\right| +1}+5}{(2^{ \sqrt{x}+3} -2)^2+1}+ \frac{1}{2\cdot 2^{\left| x\right| }-1} >(8\cdot 2^ \sqrt{x}-1)^{-1} }\)

Szczerze mówiąc, jak ją zobaczyłem, to ręce mi opadły i wymiękłem już w trakcie jej czytania. Może wśród Was znajdzie się śmiałek, który jej podoła?

Ciekawe, co by było, gdyby w Polsce na egzaminach wstępnych były takie zadania...
Ukryta treść:    
Ostatnio zmieniony 2 maja 2021, o 12:28 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Re: Wpadlibyście na to?

Post autor: Dilectus »

Rozwiązać równanie

\(\displaystyle{ (x+4)(x+5)(x+6)(x+7)=1680}\)

Kto wymięknie (jak ja), może zajrzeć tu:
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

Re: Wpadlibyście na to?

Post autor: timon92 »

Ukryta treść:    
ODPOWIEDZ