Układ z cechą

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6101
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2531 razy
Pomógł: 671 razy

Układ z cechą

Post autor: mol_ksiazkowy » 18 lis 2020, o 17:12

Udowodnić, że jeśli
\(\displaystyle{ \begin{cases} \lfloor x+y \rfloor = \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \\ \lfloor -(x+y) \rfloor = \lfloor -x \rfloor + \lfloor -y \rfloor \end{cases}}\)
to choć jedna z liczb \(\displaystyle{ x, y }\) jest całkowitą

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15105
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 151 razy
Pomógł: 5010 razy

Re: Układ z cechą

Post autor: Premislav » 18 lis 2020, o 19:36

W rzeczywistych zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \lfloor x+y\rfloor\ge \lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor}\).
Równość ma miejsce wtedy, gdy \(\displaystyle{ \left\{x\right\}+\left\{y\right\}<1}\).
Z pierwszego równania układu wnioskujemy zatem, że \(\displaystyle{ \left\{x\right\}+\left\{y\right\}<1}\), natomiast z drugiego równania dostajemy
\(\displaystyle{ \left\{-x\right\}+\left\{-y\right\}<1}\).
Gdy \(\displaystyle{ t\in \RR}\) nie jest liczbą całkowitą, to zachodzi tożsamość \(\displaystyle{ \left\{-t\right\}=1-\left\{t\right\}}\) (dowód trywialny, więc pomijam). Zatem gdyby żadna z \(\displaystyle{ x,y}\) nie była całkowita, to mielibyśmy zarazem
\(\displaystyle{ \left\{x\right\}+\left\{y\right\}<1}\)
oraz
\(\displaystyle{ 1-\left\{x\right\}+1-\left\{y\right\}<1}\), czyli
\(\displaystyle{ \left\{x\right\}+\left\{y\right\}<1, \ \left\{x\right\}+\left\{y\right\}>1}\)
a to jest oczywista sprzeczność. Zatem co najmniej jedna z \(\displaystyle{ x,y}\) musi być całkowita, c.n.d.

ODPOWIEDZ