Najpierw pozbędę się modułów, których nie lubię:
nierówność jest symetryczna, zatem bez straty ogólności niech \(\displaystyle{ x\ge y\ge z}\). Wówczas istnieją takie liczby nieujemne \(\displaystyle{ a,b}\), że \(\displaystyle{ y=z+a, \ x=z+a+b}\). Moduły uciekają do Mandżurii, do japońskich imperialistów, i nierówność przyjmuje formę \(\displaystyle{ \sqrt[3]{z(z+a)(z+a+b)} +\frac{2a+2b}{3}\ge \frac{3z+2a+b}{3}}\)
tudzież \(\displaystyle{ \sqrt[3]{z(z+a)(z+a+b)} -z\ge -\frac{b}{3}}\)
Ale to przechodzi na bardzo grubych szacowaniach, bo z nieujemności \(\displaystyle{ a,b}\) i monotoniczności \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt[3]{x}}\) mamy \(\displaystyle{ \sqrt[3]{z(z+a)(z+a+b)} -z\ge z-z=0\ge -\frac{b}{3}}\)
c.k.d.
Równość dla \(\displaystyle{ a=b=0}\), czyli dla \(\displaystyle{ x=y=z}\).
