Udowodnić nierówność przy założeniach

[aneta909811]

Wykazać, że \(\displaystyle{ \frac{x^2+y^2}{x-y} \ge 2 \sqrt{2} }\)
przy założeniach \(\displaystyle{ x>y>0, xy=1}\)

Próbowałam zwinąć do wzoru skróconego mnożenia, ale jakość nie wychodzi...

[Premislav]

Dla estetyki pozbądźmy się niewymierności, podstawiając \(\displaystyle{ x=a\sqrt{2}, \ y=b\sqrt{2}}\), wtedy oczywiście \(\displaystyle{ ab=\frac{1}{2}, \ a>b>0}\). Nierówność przyjmuje formę
\(\displaystyle{ \frac{a^{2}+b^{2}}{a-b}\ge 2}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ a>b}\), więc możemy pomnożyć przez mianownik, dostając równoważną
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}\ge 2(a-b)}\)
Teraz wstawmy \(\displaystyle{ b=\frac{1}{2a}}\) i mamy
\(\displaystyle{ a^{2}+\frac{1}{4a^{2}}\ge 2a-\frac{1}{a}}\)
Zauważmy, że
\(\displaystyle{ a^{2}+\frac{1}{4a^{2}}=\left(2a-\frac{1}{a}\right)\left(\frac{1}{2}a-\frac{1}{4a}\right)+1=\frac{1}{4}\left(2a-\frac{1}{a}\right)^{2}+1}\)
toteż nierówność sprowadza się do:
\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{2}\left(2a-\frac{1}{a}\right)-1\right)^{2}\ge 0}\)
co jest już oczywiste.

Dodano po 30 minutach 19 sekundach:
Jeśli ktoś chciałby prościej, można też zauważyć, że \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=(x-y)^{2}+2xy=(x-y)^{2}+2}\) i podstawić \(\displaystyle{ t=x-y}\), ale ja lubię sobie utrudniać życie.

[janusz47]

\(\displaystyle{ \frac{x^2 +y^2}{x-y} \geq 2\sqrt{2} }\)

\(\displaystyle{ x>y >0 , \ \ x y = 1.}\)

Dowód

\(\displaystyle{ \frac{x^2+y^2 -2x y +2x y}{x-y} \geq 2\sqrt{2} }\)

\(\displaystyle{ \frac{(x-y)^2 +2 }{x-y} \geq 2\sqrt{2} |\cdot (x-y) }\)

\(\displaystyle{ (x-y)^2 +2 \geq 2\sqrt{2}(x-y) }\)

\(\displaystyle{ (x-2)^{2} -2\sqrt{2}(x-y) +2 = (x-y - \sqrt{2})^2\geq 0 }\)

c.b.d.o.

[Niepokonana]

A dlaczego tam nie jest \(\displaystyle{ +2xy}\)?

[janusz47]

Dlatego, że wtedy, otrzymamy \(\displaystyle{ (x+ y)^2. }\) Po wymnożeniu tej nierówności przez \(\displaystyle{ x - y >0, }\) mamy

\(\displaystyle{ (x+y)^2 - 2 \geq 2\sqrt{2} (x-y) }\)

\(\displaystyle{ (x+y)^2 -2\sqrt{2}(x-y) -2 \geq 0 \ \ (1) }\)

Nie uzyskaliśmy pełnego kwadratu. Musimy czynić dodatkowe zabiegi, żeby pokazać, że \(\displaystyle{ (1) }\) przyjmuje wartości nieujemne.

[Niepokonana]

No właśnie tak myślę, ale wtedy powinno zostać \(\displaystyle{ +2xy}\) a nie samo \(\displaystyle{ +2}\).
I nie rozumiem, czemu nagle \(\displaystyle{ (x-y)^{2}}\) zmieniło się w \(\displaystyle{ (x-2)^{2}}\).

[a4karo]

A dlaczego tam nie jest \(\displaystyle{ +2xy}\)?

Przeczytaj założenia

[Niepokonana]

A dobra sorry pomyliłam się.