Próbuję rozwiązać zadanie o następującej treści. Średnica planetoidy jest równa \(\displaystyle{ d=5}\) km. Zakładamy, że planetoida jest jednorodna i ma gęstość \(\displaystyle{ \rho = 5500 \text{ } km/m^3}\). Oblicz na jaką wysokość podskoczy człowiek znajdujący się na powierzchni planetoidy, jeżeli na wykonanie skoku włożył tyle samo wysiłku ile trzeba, by podskoczyć na wysokość 1 m na Ziemi.
Na początku wyznaczam pracę jaką wykona człowiek skacząc na planetoidzie na wysokość \(\displaystyle{ \tilde{h} = h+r}\), przy czym \(\displaystyle{ h}\) jest wysokością, na którą wzniesie się nasz skoczek od powierzchni planetoidy, a \(\displaystyle{ r}\) jest średnicą planetoidy. Otrzymujemy
\(\displaystyle{ W = \int_{r}^{\tilde{h}} G \frac{Mm}{R^2} dR = GMm \bigg( \frac{1}{r} - \frac{1}{\tilde{h}} \bigg).}\)
Energia, którą włoży człowiek, by podskoczyć na Ziemi na wysokość 1 (ogólniej \(\displaystyle{ H << R_{z}}\)) m zadana jest wzorem \(\displaystyle{ E = mgH}\). Możemy zatem zapisać, że
\(\displaystyle{ gH = GM \bigg( \frac{1}{r} - \frac{1}{\tilde{h}} \bigg),}\)
a z powyższego
\(\displaystyle{ \tilde{h} = \frac{-GM}{gH - \frac{GM}{r}} \implies h = \frac{GM}{\frac{GM}{r} - gH} - r.}\)
Podstawiając odpowiednie wartości otrzymuję wynik ujemny, co mocno kłóci się z intuicją. Uprzejmie proszę o wskazanie błędu w rozumowaniu.