Średnia prędkość polowa Ziemi wokół Słońca
-
- Użytkownik
- Posty: 7922
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1672 razy
Średnia prędkość polowa Ziemi wokół Słońca
Abstrahując od ruchów własnych Słońca i Ziemi- możemy przyjąć, że średnia wartość momentu pędu odosobnionego układu Słońce-Ziemia wynosi
\(\displaystyle{ L = m\cdot v \cdot r \cdot \sin(\angle(\vec{v},\vec{r})).}\)
Wartość pola trójkąta zakreślonego przez promień wodzący Ziemi jest równa
\(\displaystyle{ \Delta S = \frac{1}{2}r \cdot \Delta s \cdot \sin(\angle(\vec{v},\vec{r})) = \frac{1}{2}r \cdot \Delta s \cdot \sin(\alpha) }\)
gdzie:
\(\displaystyle{ \alpha = \angle(\vec{v},\vec{r}) }\)
\(\displaystyle{ \Delta s }\) jest długością elementarnego łuku odcinka przebytego w czasie \(\displaystyle{ \Delta T }\)
Wartość średnia prędkości polowej Ziemi wokół Słońca
\(\displaystyle{ \sigma = \frac{\Delta S}{\Delta t} = \frac{1}{2}r\cdot \frac{\Delta s}{\Delta t} \cdot \sin(\alpha) =\frac{ m\cdot v\cdot r}{2m}\cdot \sin(\alpha)= \frac{L}{2m}}\) (jest to analityczna postać Drugiego Prawa Keplera).
Podstawiając dane liczbowe obliczamy kolejno:
- średnią wartość prędkości liniowej Ziemi wokół Słońca:
\(\displaystyle{ v = \frac{2\pi r}{t}, }\)
\(\displaystyle{ v = \frac{2\pi \cdot 149,6 \cdot 10^9 (m)}{365 (dni )\cdot \frac{24 (h)}{(dzień)} \cdot \frac{3600 (s)}{(h)}} \approx 2,980 \cdot 10^4 \frac{m}{s},}\)
-średnią wartość momentu pędu Ziemi wokół Słońca:
\(\displaystyle{ L = 5,974 \cdot 10^{24}(kg)\cdot 2,980\cdot 10^4 \frac{m}{s} \cdot 149,6 \cdot 10^9 (m) = 2,663\cdot 10^{40} \frac{kg\cdot m^2}{s},}\)
-średnią wartość prędkości polowej Ziemi wokół Słońca:
\(\displaystyle{ \sigma = \frac{2,663\cdot 10^{40} \left(\frac{kg\cdot m^2}{s}\right)}{2\cdot 5,974 \cdot 10^{24}(kg)} = 2,229 \cdot 10^{15}\frac{m^2}{s} = 2,229\cdot 10^9\frac{km^2}{s}.}\)
\(\displaystyle{ L = m\cdot v \cdot r \cdot \sin(\angle(\vec{v},\vec{r})).}\)
Wartość pola trójkąta zakreślonego przez promień wodzący Ziemi jest równa
\(\displaystyle{ \Delta S = \frac{1}{2}r \cdot \Delta s \cdot \sin(\angle(\vec{v},\vec{r})) = \frac{1}{2}r \cdot \Delta s \cdot \sin(\alpha) }\)
gdzie:
\(\displaystyle{ \alpha = \angle(\vec{v},\vec{r}) }\)
\(\displaystyle{ \Delta s }\) jest długością elementarnego łuku odcinka przebytego w czasie \(\displaystyle{ \Delta T }\)
Wartość średnia prędkości polowej Ziemi wokół Słońca
\(\displaystyle{ \sigma = \frac{\Delta S}{\Delta t} = \frac{1}{2}r\cdot \frac{\Delta s}{\Delta t} \cdot \sin(\alpha) =\frac{ m\cdot v\cdot r}{2m}\cdot \sin(\alpha)= \frac{L}{2m}}\) (jest to analityczna postać Drugiego Prawa Keplera).
Podstawiając dane liczbowe obliczamy kolejno:
- średnią wartość prędkości liniowej Ziemi wokół Słońca:
\(\displaystyle{ v = \frac{2\pi r}{t}, }\)
\(\displaystyle{ v = \frac{2\pi \cdot 149,6 \cdot 10^9 (m)}{365 (dni )\cdot \frac{24 (h)}{(dzień)} \cdot \frac{3600 (s)}{(h)}} \approx 2,980 \cdot 10^4 \frac{m}{s},}\)
-średnią wartość momentu pędu Ziemi wokół Słońca:
\(\displaystyle{ L = 5,974 \cdot 10^{24}(kg)\cdot 2,980\cdot 10^4 \frac{m}{s} \cdot 149,6 \cdot 10^9 (m) = 2,663\cdot 10^{40} \frac{kg\cdot m^2}{s},}\)
-średnią wartość prędkości polowej Ziemi wokół Słońca:
\(\displaystyle{ \sigma = \frac{2,663\cdot 10^{40} \left(\frac{kg\cdot m^2}{s}\right)}{2\cdot 5,974 \cdot 10^{24}(kg)} = 2,229 \cdot 10^{15}\frac{m^2}{s} = 2,229\cdot 10^9\frac{km^2}{s}.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7922
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1672 razy
Re: Średnia prędkość polowa Ziemi wokół Słońca
\(\displaystyle{ r }\) jest wartością średnią długości promienia wodzącego poprowadzonego ze środka Słońca do środka Ziemi w jej obiegu wokół Słońca.
Długość podstawy rozpatrywanego trójkąta jest przybliżoną długością łuku elipsy \(\displaystyle{ \Delta s = v\cdot \Delta t.}\)
Im mniejszy odcinek czasu \(\displaystyle{ \Delta t }\) tym bardziej długość łuku elipsy zbliża się do długości odcinka.
Pole wycinka elipsy zakreślonego przez promień wodzący \(\displaystyle{ \vec{r} }\) w czasie \(\displaystyle{ \Delta t }\) przybliżamy polem trójkąta \(\displaystyle{ \Delta S.}\)
Długość podstawy rozpatrywanego trójkąta jest przybliżoną długością łuku elipsy \(\displaystyle{ \Delta s = v\cdot \Delta t.}\)
Im mniejszy odcinek czasu \(\displaystyle{ \Delta t }\) tym bardziej długość łuku elipsy zbliża się do długości odcinka.
Pole wycinka elipsy zakreślonego przez promień wodzący \(\displaystyle{ \vec{r} }\) w czasie \(\displaystyle{ \Delta t }\) przybliżamy polem trójkąta \(\displaystyle{ \Delta S.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 2284
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 7922
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1672 razy
Re: Średnia prędkość polowa Ziemi wokół Słońca
Z sensem dla małego \(\displaystyle{ \Delta t.}\) Przyjmuje się takie uproszczenie, wyprowadzając analityczną postać Drugiego Prawa Keplera.