Średnia prędkość polowa Ziemi wokół Słońca

Mechanika płynów. Sprężystość. Grawitacja. Inne zagadnienia mechaniki klasycznej.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Średnia prędkość polowa Ziemi wokół Słońca

Post autor: janusz47 »

Abstrahując od ruchów własnych Słońca i Ziemi- możemy przyjąć, że średnia wartość momentu pędu odosobnionego układu Słońce-Ziemia wynosi

\(\displaystyle{ L = m\cdot v \cdot r \cdot \sin(\angle(\vec{v},\vec{r})).}\)

Wartość pola trójkąta zakreślonego przez promień wodzący Ziemi jest równa

\(\displaystyle{ \Delta S = \frac{1}{2}r \cdot \Delta s \cdot \sin(\angle(\vec{v},\vec{r})) = \frac{1}{2}r \cdot \Delta s \cdot \sin(\alpha) }\)

gdzie:

\(\displaystyle{ \alpha = \angle(\vec{v},\vec{r}) }\)

\(\displaystyle{ \Delta s }\) jest długością elementarnego łuku odcinka przebytego w czasie \(\displaystyle{ \Delta T }\)

Wartość średnia prędkości polowej Ziemi wokół Słońca

\(\displaystyle{ \sigma = \frac{\Delta S}{\Delta t} = \frac{1}{2}r\cdot \frac{\Delta s}{\Delta t} \cdot \sin(\alpha) =\frac{ m\cdot v\cdot r}{2m}\cdot \sin(\alpha)= \frac{L}{2m}}\) (jest to analityczna postać Drugiego Prawa Keplera).

Podstawiając dane liczbowe obliczamy kolejno:

- średnią wartość prędkości liniowej Ziemi wokół Słońca:

\(\displaystyle{ v = \frac{2\pi r}{t}, }\)

\(\displaystyle{ v = \frac{2\pi \cdot 149,6 \cdot 10^9 (m)}{365 (dni )\cdot \frac{24 (h)}{(dzień)} \cdot \frac{3600 (s)}{(h)}} \approx 2,980 \cdot 10^4 \frac{m}{s},}\)

-średnią wartość momentu pędu Ziemi wokół Słońca:

\(\displaystyle{ L = 5,974 \cdot 10^{24}(kg)\cdot 2,980\cdot 10^4 \frac{m}{s} \cdot 149,6 \cdot 10^9 (m) = 2,663\cdot 10^{40} \frac{kg\cdot m^2}{s},}\)

-średnią wartość prędkości polowej Ziemi wokół Słońca:

\(\displaystyle{ \sigma = \frac{2,663\cdot 10^{40} \left(\frac{kg\cdot m^2}{s}\right)}{2\cdot 5,974 \cdot 10^{24}(kg)} = 2,229 \cdot 10^{15}\frac{m^2}{s} = 2,229\cdot 10^9\frac{km^2}{s}.}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Średnia prędkość polowa Ziemi wokół Słońca

Post autor: a4karo »

Czyżby `r` oznaczało promień Ziemi?
Ciekawe trójkąty rozpatrujesz.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Średnia prędkość polowa Ziemi wokół Słońca

Post autor: janusz47 »

\(\displaystyle{ r }\) jest wartością średnią długości promienia wodzącego poprowadzonego ze środka Słońca do środka Ziemi w jej obiegu wokół Słońca.

Długość podstawy rozpatrywanego trójkąta jest przybliżoną długością łuku elipsy \(\displaystyle{ \Delta s = v\cdot \Delta t.}\)

Im mniejszy odcinek czasu \(\displaystyle{ \Delta t }\) tym bardziej długość łuku elipsy zbliża się do długości odcinka.

Pole wycinka elipsy zakreślonego przez promień wodzący \(\displaystyle{ \vec{r} }\) w czasie \(\displaystyle{ \Delta t }\) przybliżamy polem trójkąta \(\displaystyle{ \Delta S.}\)
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Średnia prędkość polowa Ziemi wokół Słońca

Post autor: matmatmm »

janusz47 pisze: 6 cze 2021, o 17:58 \(\displaystyle{ r }\) jest wartością średnią długości promienia wodzącego poprowadzonego ze środka Słońca do środka Ziemi w jej obiegu wokół Słońca.
Co w tym przypadku znaczy "wartość średnia"?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Średnia prędkość polowa Ziemi wokół Słońca

Post autor: a4karo »

Bo średnio to po okręgu się poruszamy :roll: Tylko po co wtedy jakiekolwiek rachunki?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Średnia prędkość polowa Ziemi wokół Słońca

Post autor: janusz47 »

\(\displaystyle{ r = 149600000 \ \ km }\) - średnia odległość (długość promienia) Ziemi od Słońca.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Średnia prędkość polowa Ziemi wokół Słońca

Post autor: a4karo »

Czyli dr facto liczysz prędkość połowa przy założeniu ruchu po okręgu. Bez sensu.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Średnia prędkość polowa Ziemi wokół Słońca

Post autor: janusz47 »

Z sensem dla małego \(\displaystyle{ \Delta t.}\) Przyjmuje się takie uproszczenie, wyprowadzając analityczną postać Drugiego Prawa Keplera.
ODPOWIEDZ