Stożek piasku

[Yaroo10]

Witam. Pytanie oparte jest na zadaniu z ksiązki Halliday tom 2 rodział 13 zadanie 42

Na poziomym podłożu usypano stożek piasku o wysokości \(\displaystyle{ H}\) i kącie \(\displaystyle{ \theta}\).
Dlaczego największy nacisk na podłoże jest w odległosci \(\displaystyle{ r_m}\) od środka podstawy stożka?
Czy da się to wyjaśnić matematycznie?

Kod: Zaznacz cały

https://i.stack.imgur.com/4WrTu.png

[kruszewski]

Tak, można wyprowadzić odpowiednie wzory.
Odpowiedzi należy szukać pod hasłami o mechanice ośrodków (materiałów) sypkich.
Mam:
Mechanika nasypnych gruzow P. L. Zenkow. Izd. "Maszinostrojenie", Moskwa 1964.
Tam na str.
140-140 - 143 jest wyprowadzewnie z opisem. Ale to cyrylicą.

[janusz47]

a)
Objętość \(\displaystyle{ V }\) usypanego kopca z piasku o promieniu \(\displaystyle{ r\leq \frac{1}{2} r_{m} }\) jest sumą objętości \(\displaystyle{ V_{1} }\) - walca o wysokości \(\displaystyle{ h' }\) i \(\displaystyle{ V_{2} }\) - stożka na tym walcem o wysokości \(\displaystyle{ h \ \ (m). }\)

Wysokość tego stożka obliczamy z równości:

\(\displaystyle{ \tg(\theta) = \frac{h}{\frac{1}{2}r_{m}} }\)

\(\displaystyle{ h = \frac{1}{2}r_{m}\cdot \tg(\theta) }\)

\(\displaystyle{ h = \frac{1}{2}\cdot 1,82 (m) \cdot \tg(33^{o}) = 0,59 \ \ m. }\)

Wysokość walca jest równa \(\displaystyle{ h' = H - h }\)

Objętość walca

\(\displaystyle{ V_{1} = \pi \left(\frac{r_{m}}{2} \right)^2 \cdot h' = \pi \left(\frac{r_{m}}{2} \right)^2 \cdot (H-h) }\)

Objętość stożka

\(\displaystyle{ V_{2} = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{r_{m}}{2}\right)^2 }\)

Objętość kopca

\(\displaystyle{ V = V_{1} + V_{2} = \pi \left(\frac{r_{m}}{2} \right)^2 \cdot (H-h) + \frac{1}{3}\pi \left(\frac{r_{m}}{2}\right)^2\cdot h = \pi\left(\frac{r_{m}}{2}\right)^2\left[ H - \frac{2}{3}h \right]. }\)

\(\displaystyle{ V = \pi \left(\frac{1,82 (m)}{2}\right)^2 \left[ 3(m) - \frac{2}{3}\cdot 0,59 (m)\right] = 6,78 \ \ m^3.}\)

b)
Ciężar piasku zawartego w tej objętości wynosi

\(\displaystyle{ G = m \cdot g = \rho\cdot V \cdot g }\)

\(\displaystyle{ G = 1800 \left(\frac{kg}{m^3} \right) \cdot 6,78 (m^3) \cdot 9,81 \left(\frac{m}{s^2}\right) = 1,20\cdot 10^5 \ \ N.}\)

c)
Wyrażenie na działąjące na podłogę naprężenie \(\displaystyle{ \sigma }\) jako funkcja \(\displaystyle{ r }\) dla \(\displaystyle{ r\leq r_{m} }\) (wykres)

Jest to funkcja liniowa postaci

\(\displaystyle{ \sigma(r) = \left(\frac{\sigma_{m} - \sigma_{0}}{r_{m}}\right) \cdot r + \sigma_{0}.}\)

\(\displaystyle{ \sigma(r) = \left(\frac{40024 \left(\frac{N}{m^2}\right) - 40000\left(\frac{N}{m^2}\right)}{1,82 (m)}\right) r + 40000 \left(\frac{N}{m^2}\right), \ \ r \leq 40424 \left(\frac{N}{m^2} \right). }\)

\(\displaystyle{ \sigma(r) \approx 13 r + 40000. }\)

d)
Pole powierzchni \(\displaystyle{ dS }\) cienkiego pierścienia podłogi o promieniu \(\displaystyle{ r }\) i środku pod szczytem kopca oraz szerokości radialnej \(\displaystyle{ dr }\)

\(\displaystyle{ dS = 2\pi r \cdot dr. }\)

e)
Wartość siły \(\displaystyle{ dF }\) działającej na ten pierścień ze strony piasku

\(\displaystyle{ dF = \sigma(r) \cdot dS = (13r + 40000)\cdot 2\pi r dr }\)

\(\displaystyle{ dF = (13 r + 40000)\cdot 2\pi r dr = 82 r^2 dr + 2,5 \cdot 10^5 r dr.}\)

f)
Wartość siły wypadkowej \(\displaystyle{ F }\) działającej na podłogę ze strony całego piasku zwartego w bryle o \(\displaystyle{ r\leq \frac{1}{2} r_{max} }\)

\(\displaystyle{ F = \int_{0}^{\frac{1}{2}r_{m}} dF = \int_{0}^{\frac{1}{2}r_{m}} ( 82 r^2 + 2,5\cdot 10^5 r) dr = 82\cdot\frac{r^3}{3} \mid_{0}^{\frac{1}{2}r_{m}} + 2,5\cdot 10^5 \cdot \frac{r^2}{2}\mid_{0}^{\frac{1}{2}r_{m}} }\)

Uwzględniając granice całkowania

\(\displaystyle{ F =\frac{82}{24}\cdot r^3_{m} + \frac{1}{8}\cdot 2,5\cdot 10^5 r^2_{m} = \frac{41}{12}(1,82)^3 + \frac{1}{8}\cdot 2,5\cdot 10^5 \cdot (1,82)^2 \approx 1,04 \cdot 10^5 \ \ N. }\)

g)
Wartość względna \(\displaystyle{ \delta }\) różnicy wypadkowej siły \(\displaystyle{ F }\) i ciężaru piasku \(\displaystyle{ G }\)

\(\displaystyle{ \delta = \frac{F - G}{G} }\)

\(\displaystyle{ \delta =\frac{1,04 \cdot 10^5 - 1,20\cdot 10^5} {1,20\cdot 10^5} = -0,13.}\)

[StudentIB]

Z polskich pozycji na ten temat jest niestety chyba tylko "Statyka ośrodków sypkich" Sokołowskiego.

Dodano po 56 minutach 2 sekundach:
oraz "Stany graniczne i kinematyka ośrodków sypkich" Szczepińskiego.

[kruszewski]

Statyka ośrodków sypkich, Sokołowskiego W. W. jest tłumaczeniem z rosyjskiego. (Wydawnictwo A. N. ZSRR rok 1940.)

Dodano po 18 godzinach 14 minutach 6 sekundach:
Post Pana janusza47 nie wyjaśnia powodów i nie podaje wzorów niezbędnych do obliczenia nacisków.

[janusz47]

Trzeba najpierw zapoznać się z treścią zadania 42 strona 23, zamieszczonego w II tomie Halliday Roesnick Podstawy Fizyki.

Jak Pan popatrzy na wykres funkcji naprężenia \(\displaystyle{ \sigma(r), }\) której wzór przedstawiłem na podstawie zamieszczonego wykresu obok treści zadania, to wtedy Pan nie będzie zastrzeżenia do mojego rozwiązania.

Do rozwiązania zadania i odpowiedzi na pytanie autora postu nie potrzebna jest literatura radziecka z roku 1940, którą Pan łaskawie przytoczył.
Książka napisana na potrzeby wojny sowiecko-niemieckiej.

[kruszewski]

Treść listu Pytającego jest taka:
" Pytanie oparte jest na zadaniu z ksiązki Halliday tom 2 rodział 13 zadanie 42
Na poziomym podłożu usypano stożek piasku o wysokości H i kącie θ.
Dlaczego największy nacisk na podłoże jest w odległosci \(\displaystyle{ r_m}\) od środka podstawy stożka?
Czy da się to wyjaśnić matematycznie?"

Są to pytania o istotę zjawiska i jego opis a nie o liczbowy wynik rozwiązania zadania nr. ... w .... .

Do ostatniego zdania jaki Pan pomieścił w swoim poście nie odniosę się z prostego powodu. Wiążący naukę z ideologią nie są naukowcami żadnej kategorii a tylko ideologicznymi agitatorami.

[janusz47]

Nie wiążę nauki z ideologią tylko stwierdzam fakty. Wtrąca się Pan do rozwiązania, o którym nie ma Pan pojęcia.

[a4karo]

Janusz47 już po raz kolejny zachowuje się bardzo nieładnie. "Nie masz o tym pojęcia" to typowe zachowanie ludzi którzy nie są pewni tego co zrobili i wolą argumenty typu "gupi jezdeś" od od argumentów merytorycznych.

No i oczywiście nauka radziecka to propaganda - to najbardziej merytoryczne stwierdzenie. GRatulacje.

Swoją drogą wzorek
\(\displaystyle{ \sigma(r) = \left(\frac{40024 \left(\frac{N}{m^2}\right) - 40000\left(\frac{N}{m^2}\right)}{1,82 (m)}\right) r + 40000 \left(\frac{N}{m^2}\right), \ \ r \leq 40424 \left(\frac{N}{m^2} \right).}\),
daje do myślenia: w jakich jeszcze jednostkach można mierzyć odległość.

[janusz47]

a)
Objętość \(\displaystyle{ V }\) usypanego kopca z piasku o promieniu \(\displaystyle{ r\leq \frac{1}{2} r_{m} }\) jest sumą objętości \(\displaystyle{ V_{1} }\) - walca o wysokości \(\displaystyle{ h' }\) i \(\displaystyle{ V_{2} }\) - stożka na tym walcem o wysokości \(\displaystyle{ h \ \ (m). }\)

Wysokość tego stożka obliczamy z równości:

\(\displaystyle{ \tg(\theta) = \frac{h}{\frac{1}{2}r_{m}} }\)

\(\displaystyle{ h = \frac{1}{2}r_{m}\cdot \tg(\theta) }\)

\(\displaystyle{ h = \frac{1}{2}\cdot 1,82 (m) \cdot \tg(33^{o}) = 0,59 \ \ m. }\)

Wysokość walca jest równa \(\displaystyle{ h' = H - h }\)

Objętość walca

\(\displaystyle{ V_{1} = \pi \left(\frac{r_{m}}{2} \right)^2 \cdot h' = \pi \left(\frac{r_{m}}{2} \right)^2 \cdot (H-h) }\)

Objętość stożka

\(\displaystyle{ V_{2} = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{r_{m}}{2}\right)^2 }\)

Objętość kopca

\(\displaystyle{ V = V_{1} + V_{2} = \pi \left(\frac{r_{m}}{2} \right)^2 \cdot (H-h) + \frac{1}{3}\pi \left(\frac{r_{m}}{2}\right)^2\cdot h = \pi\left(\frac{r_{m}}{2}\right)^2\left[ H - \frac{2}{3}h \right]. }\)

\(\displaystyle{ V = \pi \left(\frac{1,82 (m)}{2}\right)^2 \left[ 3(m) - \frac{2}{3}\cdot 0,59 (m)\right] = 6,78 \ \ m^3.}\)

b)
Ciężar piasku zawartego w tej objętości wynosi

\(\displaystyle{ G = m \cdot g = \rho\cdot V \cdot g }\)

\(\displaystyle{ G = 1800 \left(\frac{kg}{m^3} \right) \cdot 6,78 (m^3) \cdot 9,81 \left(\frac{m}{s^2}\right) = 1,20\cdot 10^5 \ \ N.}\)

c)
Wyrażenie na działąjące na podłogę naprężenie \(\displaystyle{ \sigma }\) jako funkcja \(\displaystyle{ r }\) dla \(\displaystyle{ r\leq r_{m} }\) (wykres)

Jest to funkcja liniowa rosnąca w przedziale \(\displaystyle{ [0, \ \ r_{max}] }\) postaci

\(\displaystyle{ \sigma(r) = \left(\frac{\sigma_{m} - \sigma_{0}}{r_{m}}\right) \cdot r + \sigma_{0}.}\)

\(\displaystyle{ \sigma(r) = \left(\frac{40024 \left(\frac{N}{m^2}\right) - 40000\left(\frac{N}{m^2}\right)}{1,82 (m)}\right) r + 40000 \left(\frac{N}{m^2}\right), \ \ r \leq r_{max} = 1,82 \ \ m. }\)

\(\displaystyle{ \sigma(r) \approx 13 r + 40000. }\)

d)
Pole powierzchni \(\displaystyle{ dS }\) cienkiego pierścienia podłogi o promieniu \(\displaystyle{ r }\) i środku pod szczytem kopca oraz szerokości radialnej \(\displaystyle{ dr }\)

\(\displaystyle{ dS = 2\pi r \cdot dr. }\)

e)
Wartość siły \(\displaystyle{ dF }\) działającej na ten pierścień ze strony piasku

\(\displaystyle{ dF = \sigma(r) \cdot dS = (13r + 40000)\cdot 2\pi r dr }\)

\(\displaystyle{ dF = (13 r + 40000)\cdot 2\pi r dr = 82 r^2 dr + 2,5 \cdot 10^5 r dr.}\)

f)
Wartość siły wypadkowej \(\displaystyle{ F }\) działającej na podłogę ze strony całego piasku zwartego w bryle o \(\displaystyle{ r\leq \frac{1}{2} r_{max} }\)

\(\displaystyle{ F = \int_{0}^{\frac{1}{2}r_{m}} dF = \int_{0}^{\frac{1}{2}r_{m}} ( 82 r^2 + 2,5\cdot 10^5 r) dr = 82\cdot\frac{r^3}{3} \mid_{0}^{\frac{1}{2}r_{m}} + 2,5\cdot 10^5 \cdot \frac{r^2}{2}\mid_{0}^{\frac{1}{2}r_{m}} }\)

Uwzględniając granice całkowania

\(\displaystyle{ F =\frac{82}{24}\cdot r^3_{m} + \frac{1}{8}\cdot 2,5\cdot 10^5 r^2_{m} = \frac{41}{12}(1,82)^3 + \frac{1}{8}\cdot 2,5\cdot 10^5 \cdot (1,82)^2 \approx 1,04 \cdot 10^5 \ \ N. }\)

g)
Wartość względna \(\displaystyle{ \delta }\) różnicy wypadkowej siły \(\displaystyle{ F }\) i ciężaru piasku \(\displaystyle{ G }\)

\(\displaystyle{ \delta = \frac{F - G}{G} }\)

\(\displaystyle{ \delta =\frac{1,04 \cdot 10^5 - 1,20\cdot 10^5} {1,20\cdot 10^5} = -0,13.}\)

Pozostałe uwagi i opinie nie wchodzą w zakres rozwiązania tego zadania.

[StudentIB]

To są odpowiedzi na podpunkty w tym zadaniu (można je znaleźć w internecie do angielskiej wersji podręcznika). Ale autor tematu pyta o coś innego - wyjaśnienie dlaczego największy nacisk jest w odległości \(\displaystyle{ r_{m}}\) od środka kopca a tego w książce nie tłumaczą dokładnie (jest tam tylko lakoniczna informacja, że wynika to prawdopodobnie z tworzenia łuków przez ziarna piasku w kopcu)

[AiDi]

Pozostałe uwagi i opinie nie wchodzą w zakres rozwiązania tego zadania.

Co nie oznacza, że nikt tu swoich uwag publikować nie może.

[janusz47]

Nie znam angielskiego rozwiązania zadania z internetu.

Warto natomiast zauważyć, że wartość siły \(\displaystyle{ F = 1,04\cdot 10^5 \ \ N }\) działającej na podłogę jest mniejsza od ciężaru \(\displaystyle{ G = 1,20 \cdot 10^5 \ \ N }\) piasku znajdującego się nad tą częścią podłogi, obliczoną w punkcie \(\displaystyle{ b)}\)

[kruszewski]

Naprężenie normalne do poziomej płaszczyzny podstawy stożka w spodku jego wysokości

\(\displaystyle{ \sigma_0 = H \gamma \frac{2 - \sin^2 \varphi}{2( 1 + \sin^2 \varphi)} }\) (Zenkow, Mechanika nasypnych gruzow, wzór (134))

zaś maksymale \(\displaystyle{ \sigma_{max}}\) w odległości \(\displaystyle{ h}\) równej \(\displaystyle{ H \frac{\cos \varphi}{1 + \sin \varphi}}\) od spodka wysokości na płaszczyznę horyzontalną podstawy

\(\displaystyle{ \sigma_{max} = \sigma_e = H \gamma \frac{1 + \sin \varphi^2}{1 + \sin \varphi }}\) (wzór (133) tamże)

Tłumaczene tego zjawiska , faktu, " że wynika to prawdopodobnie z tworzenia łuków przez ziarna piasku w kopcu" co przytacza Kolega StudentIB liście, jest dobrym objaśnieniem zjawiska, które w ekstremalnym przypadku daje sklepienie nad otworem między ścianami z nieruchomych ziaren. Nacisk na horyzontalną sprowadza się wtedy do nacisku tej części materiału pryzmy która znajduje się pod sklepieniem.

[StudentIB]

A jaki jest tytuł rozdziału/akapitu (w tłumaczeniu na polski) w książce Zenkowa gdzie można znaleźć te wzory ? Byłoby mi łatwiej poszukać czegoś w naszej literaturze.