Witam. Pytanie oparte jest na zadaniu z ksiązki Halliday tom 2 rodział 13 zadanie 42
Na poziomym podłożu usypano stożek piasku o wysokości \(\displaystyle{ H}\) i kącie \(\displaystyle{ \theta}\).
Dlaczego największy nacisk na podłoże jest w odległosci \(\displaystyle{ r_m}\) od środka podstawy stożka?
Czy da się to wyjaśnić matematycznie?
Ostatnio zmieniony 7 lut 2021, o 14:43 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód:Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Tak, można wyprowadzić odpowiednie wzory.
Odpowiedzi należy szukać pod hasłami o mechanice ośrodków (materiałów) sypkich.
Mam: Mechanika nasypnych gruzow P. L. Zenkow. Izd. "Maszinostrojenie", Moskwa 1964.
Tam na str.
140-140 - 143 jest wyprowadzewnie z opisem. Ale to cyrylicą.
a)
Objętość \(\displaystyle{ V }\) usypanego kopca z piasku o promieniu \(\displaystyle{ r\leq \frac{1}{2} r_{m} }\) jest sumą objętości \(\displaystyle{ V_{1} }\) - walca o wysokości \(\displaystyle{ h' }\) i \(\displaystyle{ V_{2} }\) - stożka na tym walcem o wysokości \(\displaystyle{ h \ \ (m). }\)
c)
Wyrażenie na działąjące na podłogę naprężenie \(\displaystyle{ \sigma }\) jako funkcja \(\displaystyle{ r }\) dla \(\displaystyle{ r\leq r_{m} }\) (wykres)
Jest to funkcja liniowa postaci
\(\displaystyle{ \sigma(r) = \left(\frac{\sigma_{m} - \sigma_{0}}{r_{m}}\right) \cdot r + \sigma_{0}.}\)
\(\displaystyle{ \sigma(r) = \left(\frac{40024 \left(\frac{N}{m^2}\right) - 40000\left(\frac{N}{m^2}\right)}{1,82 (m)}\right) r + 40000 \left(\frac{N}{m^2}\right), \ \ r \leq 40424 \left(\frac{N}{m^2} \right). }\)
\(\displaystyle{ \sigma(r) \approx 13 r + 40000. }\)
d)
Pole powierzchni \(\displaystyle{ dS }\) cienkiego pierścienia podłogi o promieniu \(\displaystyle{ r }\) i środku pod szczytem kopca oraz szerokości radialnej \(\displaystyle{ dr }\)
\(\displaystyle{ dS = 2\pi r \cdot dr. }\)
e)
Wartość siły \(\displaystyle{ dF }\) działającej na ten pierścień ze strony piasku
\(\displaystyle{ dF = \sigma(r) \cdot dS = (13r + 40000)\cdot 2\pi r dr }\)
\(\displaystyle{ dF = (13 r + 40000)\cdot 2\pi r dr = 82 r^2 dr + 2,5 \cdot 10^5 r dr.}\)
f)
Wartość siły wypadkowej \(\displaystyle{ F }\) działającej na podłogę ze strony całego piasku zwartego w bryle o \(\displaystyle{ r\leq \frac{1}{2} r_{max} }\)
Trzeba najpierw zapoznać się z treścią zadania 42 strona 23, zamieszczonego w II tomie Halliday Roesnick Podstawy Fizyki.
Jak Pan popatrzy na wykres funkcji naprężenia \(\displaystyle{ \sigma(r), }\) której wzór przedstawiłem na podstawie zamieszczonego wykresu obok treści zadania, to wtedy Pan nie będzie zastrzeżenia do mojego rozwiązania.
Do rozwiązania zadania i odpowiedzi na pytanie autora postu nie potrzebna jest literatura radziecka z roku 1940, którą Pan łaskawie przytoczył.
Książka napisana na potrzeby wojny sowiecko-niemieckiej.
Treść listu Pytającego jest taka:
" Pytanie oparte jest na zadaniu z ksiązki Halliday tom 2 rodział 13 zadanie 42
Na poziomym podłożu usypano stożek piasku o wysokości H i kącie θ. Dlaczego największy nacisk na podłoże jest w odległosci \(\displaystyle{ r_m}\) od środka podstawy stożka?
Czy da się to wyjaśnić matematycznie?"
Są to pytania o istotę zjawiska i jego opis a nie o liczbowy wynik rozwiązania zadania nr. ... w .... .
Do ostatniego zdania jaki Pan pomieścił w swoim poście nie odniosę się z prostego powodu. Wiążący naukę z ideologią nie są naukowcami żadnej kategorii a tylko ideologicznymi agitatorami.
Janusz47 już po raz kolejny zachowuje się bardzo nieładnie. "Nie masz o tym pojęcia" to typowe zachowanie ludzi którzy nie są pewni tego co zrobili i wolą argumenty typu "gupi jezdeś" od od argumentów merytorycznych.
No i oczywiście nauka radziecka to propaganda - to najbardziej merytoryczne stwierdzenie. GRatulacje.
Swoją drogą wzorek \(\displaystyle{ \sigma(r) = \left(\frac{40024 \left(\frac{N}{m^2}\right) - 40000\left(\frac{N}{m^2}\right)}{1,82 (m)}\right) r + 40000 \left(\frac{N}{m^2}\right), \ \ r \leq 40424 \left(\frac{N}{m^2} \right).}\),
daje do myślenia: w jakich jeszcze jednostkach można mierzyć odległość.
a)
Objętość \(\displaystyle{ V }\) usypanego kopca z piasku o promieniu \(\displaystyle{ r\leq \frac{1}{2} r_{m} }\) jest sumą objętości \(\displaystyle{ V_{1} }\) - walca o wysokości \(\displaystyle{ h' }\) i \(\displaystyle{ V_{2} }\) - stożka na tym walcem o wysokości \(\displaystyle{ h \ \ (m). }\)
c)
Wyrażenie na działąjące na podłogę naprężenie \(\displaystyle{ \sigma }\) jako funkcja \(\displaystyle{ r }\) dla \(\displaystyle{ r\leq r_{m} }\) (wykres)
Jest to funkcja liniowa rosnąca w przedziale \(\displaystyle{ [0, \ \ r_{max}] }\) postaci
\(\displaystyle{ \sigma(r) = \left(\frac{\sigma_{m} - \sigma_{0}}{r_{m}}\right) \cdot r + \sigma_{0}.}\)
\(\displaystyle{ \sigma(r) = \left(\frac{40024 \left(\frac{N}{m^2}\right) - 40000\left(\frac{N}{m^2}\right)}{1,82 (m)}\right) r + 40000 \left(\frac{N}{m^2}\right), \ \ r \leq r_{max} = 1,82 \ \ m. }\)
\(\displaystyle{ \sigma(r) \approx 13 r + 40000. }\)
d)
Pole powierzchni \(\displaystyle{ dS }\) cienkiego pierścienia podłogi o promieniu \(\displaystyle{ r }\) i środku pod szczytem kopca oraz szerokości radialnej \(\displaystyle{ dr }\)
\(\displaystyle{ dS = 2\pi r \cdot dr. }\)
e)
Wartość siły \(\displaystyle{ dF }\) działającej na ten pierścień ze strony piasku
\(\displaystyle{ dF = \sigma(r) \cdot dS = (13r + 40000)\cdot 2\pi r dr }\)
\(\displaystyle{ dF = (13 r + 40000)\cdot 2\pi r dr = 82 r^2 dr + 2,5 \cdot 10^5 r dr.}\)
f)
Wartość siły wypadkowej \(\displaystyle{ F }\) działającej na podłogę ze strony całego piasku zwartego w bryle o \(\displaystyle{ r\leq \frac{1}{2} r_{max} }\)
To są odpowiedzi na podpunkty w tym zadaniu (można je znaleźć w internecie do angielskiej wersji podręcznika). Ale autor tematu pyta o coś innego - wyjaśnienie dlaczego największy nacisk jest w odległości \(\displaystyle{ r_{m}}\) od środka kopca a tego w książce nie tłumaczą dokładnie (jest tam tylko lakoniczna informacja, że wynika to prawdopodobnie z tworzenia łuków przez ziarna piasku w kopcu)
Nie znam angielskiego rozwiązania zadania z internetu.
Warto natomiast zauważyć, że wartość siły \(\displaystyle{ F = 1,04\cdot 10^5 \ \ N }\) działającej na podłogę jest mniejsza od ciężaru \(\displaystyle{ G = 1,20 \cdot 10^5 \ \ N }\) piasku znajdującego się nad tą częścią podłogi, obliczoną w punkcie \(\displaystyle{ b)}\)
Naprężenie normalne do poziomej płaszczyzny podstawy stożka w spodku jego wysokości
\(\displaystyle{ \sigma_0 = H \gamma \frac{2 - \sin^2 \varphi}{2( 1 + \sin^2 \varphi)} }\) (Zenkow, Mechanika nasypnych gruzow, wzór (134))
zaś maksymale \(\displaystyle{ \sigma_{max}}\) w odległości \(\displaystyle{ h}\) równej \(\displaystyle{ H \frac{\cos \varphi}{1 + \sin \varphi}}\) od spodka wysokości na płaszczyznę horyzontalną podstawy
Tłumaczene tego zjawiska , faktu, " że wynika to prawdopodobnie z tworzenia łuków przez ziarna piasku w kopcu" co przytacza Kolega StudentIB liście, jest dobrym objaśnieniem zjawiska, które w ekstremalnym przypadku daje sklepienie nad otworem między ścianami z nieruchomych ziaren. Nacisk na horyzontalną sprowadza się wtedy do nacisku tej części materiału pryzmy która znajduje się pod sklepieniem.
A jaki jest tytuł rozdziału/akapitu (w tłumaczeniu na polski) w książce Zenkowa gdzie można znaleźć te wzory ? Byłoby mi łatwiej poszukać czegoś w naszej literaturze.