Strzykawka medyczna, a czas wypychania z niej wody

[kiyuyo]

Powierzchnia tłoka w strzykawce medycznej jest równa \(\displaystyle{ S_1= 4\,cm^2}\), a powierzchnia otworu \(\displaystyle{ S_2=1\,mm^2}\). W jakim czasie woda zostanie wypchnięta ze strzykawki, jeśli działa na nią stała siła \(\displaystyle{ F=50\,N}\), a tłok można przesunąć o \(\displaystyle{ s=6\,cm}\). Nie uwzględniamy oporów.

[siwymech]

Do rozw. wykorzystamy
-zasadę równoważności pracy \(\displaystyle{ W}\) i przrostu energii kinetycznej \(\displaystyle{ \Delta Ek}\)
.... Jeżeli na ciało o masie \(\displaystyle{ m}\) działa siła czynna \(\displaystyle{ F, }\) to przyrost energii kinetycznej \(\displaystyle{ \Delta E _{k} }\) tego ciała jest równy pracy \(\displaystyle{ W,}\) wykonanej przez siłę \(\displaystyle{ F}\) działającą na ciało na drodze \(\displaystyle{ s}\).
\(\displaystyle{ W=E _{k2} -E _{k1} }\), (1)
...........................................................................................
1. W czasie \(\displaystyle{ t}\) tłok przesunie się na drodze \(\displaystyle{ s}\) z prędkością \(\displaystyle{ v _{1} [}\)/latex]
\(\displaystyle{ t= \frac{s}{v _{1} } }\), (2)
/ Nieznaną wielkością jest prędkość \(\displaystyle{ v _{1} !}\)/
......................................................................
2.Obliczenie prędkości \(\displaystyle{ v _{1} }\) z zasady (1)
\(\displaystyle{ W=E _{k2} -E _{k1} }\)
2.1. Energia kinetyczna początkowa \(\displaystyle{ E _{k1} }\)
\(\displaystyle{ E _{k1}=m \cdot \frac{v ^{2} _{1} }{2} }\),
Gdzie
\(\displaystyle{ m}\)-masa wody w strzykawce o długości \(\displaystyle{ s}\) i polu przekroju \(\displaystyle{ S_{1} }\)
\(\displaystyle{ m=\rho \cdot V=\rho \cdot S _{1} \cdot s}\), (3)
\(\displaystyle{ E _{k1}=\rho \cdot S _{1} \cdot s \cdot \frac{v ^{2} _{1} }{2} }\), (4)
/\(\displaystyle{ S _{1} \cdot s =V }\)- objętość zajmowana przez wodę
2.2. Energia kinetyczna końcowa \(\displaystyle{ E _{k2} }\) wypływającej wody z predkością \(\displaystyle{ v_{2}}\) przez otwór o zmniejszonym przekroju \(\displaystyle{ S _{2} }\)
\(\displaystyle{ E _{k2}=m \cdot \frac{v ^{2} _{1} }{2} =\rho \cdot S _{2} \cdot s \cdot \frac{v ^{2} _{2} }{2} }\), (5)
2.3.Praca tłoka
\(\displaystyle{ W= F \cdot s}\),(6)
Teraz równość(1) wynikająca z zasady równoważności pracy i energii przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ F \cdot s= \frac{\rho \cdot s}{2} (S _{2} \cdot {v ^{2} _{2} } - S _{1} \cdot {v ^{2} _{1} }) }\), (7)
W równaniu wystepują dwie nieznane predkości!
Stąd wykorzystamy prawo ciagłości strugi i znajdziemy zwiazek pomiedzy prędkościami
\(\displaystyle{ Q _{1} =Q _{2} }\), (8)
\(\displaystyle{ v _{1} \cdot S _{1}= v _{2} \cdot S _{2}}\)
\(\displaystyle{ v _{2}=v _{1} \cdot \frac{S _{1} }{S _{2} } }\), (9)
.......................................................................
Po wstawieniu zalężności (9) do równania (7) znajdziemy prędkość \(\displaystyle{ v _{1} }\) i ostatecznie z zależności(2) szukany czas \(\displaystyle{ t}\)

[janusz47]

Równanie Bernoullego

\(\displaystyle{ p_{0} + p + \frac{1}{2}\rho \cdot v^2_{t} = p_{0} + \frac{1}{2}\rho \cdot v^2_{i} }\)

Równanie ciągłości (wydatku)

\(\displaystyle{ S_{1}\cdot v_{t} = S_{2}\cdot v_{i} }\)

\(\displaystyle{ v_{i} = \frac{S_{1}}{S_{2}}\cdot v_{t} }\)

\(\displaystyle{ \frac{F}{S_{1}} + \frac{1}{2}\rho v^2_{t} = \frac{1}{2}\rho \cdot \left( \frac{S_{1}}{S_{2}}\right)^2 \cdot v^2_{t} }\)

\(\displaystyle{ \frac{F}{S_{1}} = \frac{1}{2}\rho \cdot \left [ \left(\frac{S_{1}}{S_{2}}\right)^2 -1 \right] \cdot v^2_{t}.}\)

\(\displaystyle{ \frac{s^2}{t^2} = \frac{2F}{\rho\cdot S_{1}\cdot \left[ \left(\frac{S_{1}}{S_{2}}\right)^2 -1 \right]} }\)

\(\displaystyle{ t = s \cdot \sqrt{ \frac{ \rho \cdot S_{1}\left [\left( \frac{S_{1}}{S_{2}}\right)^2 -1 \right]}{2 F}}. }\)

[kruszewski]

A nie prościej skorzystać wprost z twierdzenia Torricellego (które wynika z twierdzenia Bernouliego, przy przyjęciu równości ciśnienia otoczenia nad tłokiem i pod dnem zbiornika), wtedy prędkość wypływu przez otwór w dnie jest równa
\(\displaystyle{ v_2 = \sqrt{2gh}}\) ,
gdzie \(\displaystyle{ h}\) jest wysokością niwelacyjną cieczy nad dnem, co odpowiada wysokości słupa cieczy wywołującego ciśnienie na dno
\(\displaystyle{ p = \frac{F}{S_1}.}\)
Nie używając kalkulatora można szacować wyniki na:

\(\displaystyle{ p = \frac{50 \ N}{4 \ cm^2}}\) , co dla wody odpowiada \(\displaystyle{ h = 12,5 \ m}\)
Wtedy prędkość wypływu:
\(\displaystyle{ v_2 = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 12,5} = 5 \sqrt{10} \ m/s = 500 \sqrt{10} \ cm/s }\)
Z równania ciągłości strugi:
\(\displaystyle{ v_2 \cdot S_2 \cdot t = 6 \cdot 4 \ cm^3 }\)
i wtedy:
\(\displaystyle{ t= \frac{24 \cdot \sqrt{10} }{0,01 \cdot 500 \cdot 10} \ s}\)

Oszacowanie wyniku : \(\displaystyle{ t \approx 1,5 / s}\)