3. Amerykańska agencja kosmiczna (NASA) przygotowuje plany umożliwiające lądowanie na asteroidzie. NASA chce sprawdzić, czy jest możliwa zmiana kursu takiego ciała w przypadku, gdyby zmierzało ono w kierunku Ziemi. Naszej planecie może w 2029 roku zagrozić stosunkowo niewielka asteroida Apophis o masie \(\displaystyle{ 8\cdot10^{10} kg}\). Astronomowie oceniają że asteroida mija naszą planetę w niewielkiej odległości raz na 1500 lat. Podczas jednego obiegu wokół Słońca orbita Apophis dwukrotnie przecina się z orbitą Ziemi. Najbliższe zbliżenie Asteroida Apophis do Ziemi nastąpi w piątek 13 kwietnia 2029 roku. Astronomowie szacują, że wartość prędkości asteroidy względem Ziemi w momencie potencjalnego zderzenia będzie wynosiła około \(\displaystyle{ 13 km/s}\).
Średnia odległość od Słońca \(\displaystyle{ 0,922 AU}\)
Mimośród orbity \(\displaystyle{ 0,191}\)
Peryhelium \(\displaystyle{ 0,746 AU}\)
Aphelium \(\displaystyle{ 1,098 AU}\)
Nachylenie orbity względem ekliptyki \(\displaystyle{ 3,333° }\)
Średnica asteroidy \(\displaystyle{ 390 m}\)
Zadanie 3.1 Oszacuj wartość przyspieszenia grawitacyjnego na powierzchni asteroidy. W obliczeniach przyjmij, że asteroida jest jednorodną kulą.
Zadanie 3.2 Podaj, w którym położeniu (peryhelium czy aphelium) wartość prędkości obiegu asteroidy wokół Słońca jest najmniejsza. Odpowiedź uzasadnij, odwołując się do odpowiedniego prawa i podając jego treść.
Zadanie 3.3 Oszacuj okres obiegu asteroidy wokół Słońca. Wynik podaj w dniach ziemskich. Podczas obliczeń przyjmij, że asteroida porusza się po orbicie kołowej, rok ziemski trwa \(\displaystyle{ 365}\) dni, a średnia odległość Ziemi od Słońca jest równa \(\displaystyle{ 1 AU}\) (\(\displaystyle{ 1 AU= 15\cdot10^{10} m}\)).
Zadanie 3.4 Wykaż, że wartość pierwszej prędkości kosmicznej dla asteroidy Apophis wynosi około \(\displaystyle{ 0.165 m/s}\).
Zadanie 3.5 Oblicz maksymalną energię, jaka może wydzielić się w momencie zderzenia asteroidy z powierzchnią Ziemi. Wyraź tę energię w megatonach ( \(\displaystyle{ MT}\)), przyjmując, że \(\displaystyle{ 1 MT\sim 4\cdot10^{15} J}\).
Grawitacja 3
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Grawitacja 3
Zadanie 3.1
Z porównania wartości sił:
\(\displaystyle{ F_{c} = F_{g} }\)
\(\displaystyle{ m\cdot a = G \frac{m\cdot M}{R^2} \cdot |\frac{1}{m},}\)
gdzie promień Asteroidy:
\(\displaystyle{ R = \frac{d}{2} }\)
\(\displaystyle{ a = G \cdot \frac{M}{\left(\frac{d}{2}\right)^2} }\)
\(\displaystyle{ a = G\cdot \frac{4 M}{d^2} }\)
\(\displaystyle{ a = 6,67\cdot 10^{-11}\left( \frac{N\cdot m^2}{kg^2}\right) \frac{4\cdot 8\cdot 10^{10} (kg)}{(390)^2 (m^2)} = 1,4\cdot 10^{-4}\frac{m}{s^2}.}\)
Zadanie 3,2
Wartość prędkości liniowej obiegu Asteroidy wokół Słońca będzie najmniejsza w aphelium. Wynika to na przykład z drugiego prawa Keplera:
" Promień wodzący poprowadzony ze środka Słońca do środka Asteroidy zakreśla równe pola powierzchni w równych odstępach czasu".
Zadanie 3,3
Na podstawie trzeciego prawa Keplera zapisanego w postaci:
\(\displaystyle{ \frac{T^2_{Z}}{R^3_{Z}}= \frac{T^2_{A}}{R^3_{A}}, }\)
szacujemy średni okres obiegu Asteroidy wokół Słońca
\(\displaystyle{ T_{A} = \sqrt{T^2_{Z} \left( \frac{R_{A}}{R_{Z}}\right)^3} = T_{Z}\sqrt{\left(\frac{R_{A}}{R_{Z}}\right)^3}. }\)
\(\displaystyle{ T_{A} = 365 (dni) \cdot \sqrt{ \left(\frac{0,922 (AU)}{1(AU)}\right)^3} = 323 \ \ dni.}\)
Zadanie 3,4
Wartość pierwszej prędkości kosmicznej Asteroidy:
\(\displaystyle{ v_{I} = \sqrt{G \cdot\frac{ M}{R}} = \sqrt{G\cdot \frac{M}{\frac{d}{2}}} = \sqrt{\frac{2G\cdot M}{d}}. }\)
\(\displaystyle{ v_{I} = \sqrt{ \frac{2\cdot 6,67\cdot 10^{-11}\left( \frac{N\cdot m^2}{kg^2}\right)\cdot 8\cdot 10^{10}(kg)}{390 (m)}} = 0,165 \frac{m}{s}.}\)
Zadanie 3,5
Maksymalna energia jaka może wydzielić się w momencie zderzenia Asteroidy z powierzchnią Ziemi:
\(\displaystyle{ Q = \frac{m\cdot v^2}{2}. }\)
\(\displaystyle{ Q_{J} = \frac{8\cdot 10^{10}(kg) \cdot (13\cdot 10^3)^2 \left(\frac{m^2}{s^2}\right)}{2} = 676 \cdot 10^{18} J. }\)
\(\displaystyle{ Q_{MT} = \frac{6,76\cdot 10^{18}(J)}{4\cdot 10^{15} \left(\frac{J}{MT}\right)} = 1,69\cdot 10^3 MT = 1690 MT. }\)
Z porównania wartości sił:
\(\displaystyle{ F_{c} = F_{g} }\)
\(\displaystyle{ m\cdot a = G \frac{m\cdot M}{R^2} \cdot |\frac{1}{m},}\)
gdzie promień Asteroidy:
\(\displaystyle{ R = \frac{d}{2} }\)
\(\displaystyle{ a = G \cdot \frac{M}{\left(\frac{d}{2}\right)^2} }\)
\(\displaystyle{ a = G\cdot \frac{4 M}{d^2} }\)
\(\displaystyle{ a = 6,67\cdot 10^{-11}\left( \frac{N\cdot m^2}{kg^2}\right) \frac{4\cdot 8\cdot 10^{10} (kg)}{(390)^2 (m^2)} = 1,4\cdot 10^{-4}\frac{m}{s^2}.}\)
Zadanie 3,2
Wartość prędkości liniowej obiegu Asteroidy wokół Słońca będzie najmniejsza w aphelium. Wynika to na przykład z drugiego prawa Keplera:
" Promień wodzący poprowadzony ze środka Słońca do środka Asteroidy zakreśla równe pola powierzchni w równych odstępach czasu".
Zadanie 3,3
Na podstawie trzeciego prawa Keplera zapisanego w postaci:
\(\displaystyle{ \frac{T^2_{Z}}{R^3_{Z}}= \frac{T^2_{A}}{R^3_{A}}, }\)
szacujemy średni okres obiegu Asteroidy wokół Słońca
\(\displaystyle{ T_{A} = \sqrt{T^2_{Z} \left( \frac{R_{A}}{R_{Z}}\right)^3} = T_{Z}\sqrt{\left(\frac{R_{A}}{R_{Z}}\right)^3}. }\)
\(\displaystyle{ T_{A} = 365 (dni) \cdot \sqrt{ \left(\frac{0,922 (AU)}{1(AU)}\right)^3} = 323 \ \ dni.}\)
Zadanie 3,4
Wartość pierwszej prędkości kosmicznej Asteroidy:
\(\displaystyle{ v_{I} = \sqrt{G \cdot\frac{ M}{R}} = \sqrt{G\cdot \frac{M}{\frac{d}{2}}} = \sqrt{\frac{2G\cdot M}{d}}. }\)
\(\displaystyle{ v_{I} = \sqrt{ \frac{2\cdot 6,67\cdot 10^{-11}\left( \frac{N\cdot m^2}{kg^2}\right)\cdot 8\cdot 10^{10}(kg)}{390 (m)}} = 0,165 \frac{m}{s}.}\)
Zadanie 3,5
Maksymalna energia jaka może wydzielić się w momencie zderzenia Asteroidy z powierzchnią Ziemi:
\(\displaystyle{ Q = \frac{m\cdot v^2}{2}. }\)
\(\displaystyle{ Q_{J} = \frac{8\cdot 10^{10}(kg) \cdot (13\cdot 10^3)^2 \left(\frac{m^2}{s^2}\right)}{2} = 676 \cdot 10^{18} J. }\)
\(\displaystyle{ Q_{MT} = \frac{6,76\cdot 10^{18}(J)}{4\cdot 10^{15} \left(\frac{J}{MT}\right)} = 1,69\cdot 10^3 MT = 1690 MT. }\)