Dwie karty

Mechanika płynów. Sprężystość. Grawitacja. Inne zagadnienia mechaniki klasycznej.
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Dwie karty

Post autor: kruszewski »

I takie zadanie:
pod jakim największym kątem w kalenicy (w wierzchołku) można ustawić daszek z dwu identycznych fizycznie kart do gry, jeżeli znamy współczynniki tarcia o stół i wzajemnie o siebie w krawędzi stykania się ze sobą?
pkrwczn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 164
Rejestracja: 27 paź 2015, o 23:44
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 30 razy

Re: Dwie karty

Post autor: pkrwczn »

Karty są identyczne i zsuwałyby się symetrycznie, więc górne krawędzie będą zawsze do siebie przylegały. Zadanie jest identyczne do drabiny opartej o ścianę, bez tarcia o ścianę. Współczynnik tarcia o stół \(\displaystyle{ f}\).

Na jadną kartę działają siły: ciężar karty \(\displaystyle{ \vec{Q}=-mg\hat{j}}\), przyłożona do środka karty; \(\displaystyle{ \vec{T}=-mgf\hat{i}}\), przyłożona do dolnej krawędzi; siła reakcji podłoża \(\displaystyle{ \vec{R}}\), przyłożona też to dolnej krawędzi i skierowana w kierunku \(\displaystyle{ \hat{j}}\); siła nadana przez drugą kartę \(\displaystyle{ \vec{F}}\), przyłożona do górnej krawędzi i skierowana w kierunku \(\displaystyle{ \hat{i}}\).
Równania sił: \(\displaystyle{ \vec{F}+\vec{Q}+\vec{T}+\vec{R}=0}\), co daje \(\displaystyle{ R=mg}\) i \(\displaystyle{ F=mgf}\).
Moment siły powinien być zero dla maksymalnego kąta: \(\displaystyle{ \tau=-\frac{1}{2}\vec{r}\cdot\vec{Q}-\vec{r}\cdot{T}+\vec{r}\cdot{R}=0}\).
Moment siły wokół górnej krawędzi, więc \(\displaystyle{ \vec{r}=lsin\alpha\hat{i}-lcos\alpha\hat{j}}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) to kąt odchylenia od pionu.
\(\displaystyle{ \tau=-\frac{l}{2}mg\cos\alpha-lmgf\cos(\alpha+90^{\circ})+lmg\cos(180^{\circ}-\alpha)}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cos\alpha=f\sin\alpha}\)
\(\displaystyle{ \tan\alpha=\frac{1}{2f}}\)
\(\displaystyle{ \tan(2\alpha)=\frac{4f}{4f^2-1}}\)
Szukany kąt \(\displaystyle{ \ 2\alpha=\arctan\frac{4f}{4f^2-1}}\).
Awatar użytkownika
siwymech
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2428
Rejestracja: 17 kwie 2012, o 14:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Targ
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 608 razy

Re: Dwie karty

Post autor: siwymech »

Moja niesmiała prośba o zamieszczenie stosownego rysunku.
ODPOWIEDZ