Szeregowe łączenie sprężyn

[Szwanceneger]

Witam. Czy mógłby ktoś wytłumaczyć dlaczego w przypadku łączenia szeregowego bezmasowych sprężyn siły są jednakowe? Próbując zastosować podobny sposób myślenia co w przypadku bezmasowej liny tzn. szukając sił napięcia sprężyny nie dochodzę do niczego.

[kruszewski]

Proszę wyobrazić sobie sprężynę śrubową naciągową z uchami na końcach. do obu uch przymocowane nici, które następnie są przerzucone przez bezmasowe bloczki. Na zwisjących końcach nici są szalki, dla wygody dalszego rozumowania też bezmasowe. Jeżeli na prawej szalce położymy odważnik o masie \(\displaystyle{ m_p}\), to dla zrównoważenia tego układu (sprężyna+ odważnik \(\displaystyle{ m_p}\) ) trzeba położyć na lewej szalce odważnik \(\displaystyle{ m_l}\) o takiej samej masie jaką posiada odważnik położony na prawej szalce, \(\displaystyle{ m_l = m_p}\). Łatwo zauważyć, że do końców sprężyny przyłożone są dwie równoważące się siły \(\displaystyle{ P_p = P_{l_1}}\)

Jeżeli teraz między lewym uchem sprężyny a bloczkiem wstawimy kolejną sprężynę naciągową z uchami, nie koniecznie taką samą jak pierwsza, to dla zapewnia stanu równowagi tego nowego układy dwu sprężyn i odważnika na pierwszej szalce na szalkę na nici przerzuconej przez jej bloczek musimy położyć odważnik o takiej samej masie jak położona na pierwszej szalce.
czyli \(\displaystyle{ m_{l} = m_p }\), co oznacza, że siła naciągu układu równa jest siłe \(\displaystyle{ P_{l_2} = P_{l_1} = P_p }\)
Z łatością zauważamy, że odważnik położony na lewej szalce spełnia rolę reakcji na akcję odważnika położonego na prawej szalce.
Zatem: \(\displaystyle{ P_l = P_p}\)
Mam nadzieję, że choć trochę pomogłem w objaśnieniu przyczyny niezmienności siły działającej na każdą szeregowo włączoną sprężynę.

[Szwanceneger]

Dziękuję, ale jest to jeden szczególny przykład. Mi chodzi o wytłumaczenie dla ogólnego przypadku dlaczego \(\displaystyle{ k_{1}x _{1}=k _{2}x _{2}=k _{n}x _{n} }\).

[kruszewski]

Kolega zapytał: "Czy mógłby ktoś wytłumaczyć dlaczego w przypadku łączenia szeregowego bezmasowych sprężyn siły są jednakowe?
Ma to pytanie starałem się odpowiedzieć.
Jeżeli równanie \(\displaystyle{ P= k \cdot x}\) wymaga objaśnienia, to proszę zauważyć, że przy liniowej charakterystyce sprężyny zachodzi zależność \(\displaystyle{ P= k \cdot x}\) gdzie \(\displaystyle{ k }\) jest tzw. stałą sprężyny, współczynnikiem proporcjonalności przyłożonej siły do wywołanego jej działaniem odkształcenia.
Jeżeli\(\displaystyle{ P_1 = P_2 = P_3 = ... = P_n}\) to:
\(\displaystyle{ P_1 = k_1 \cdot x_1 = P_2= k_2 \cdot x_2 ... = P_n = k_n \cdot x_n }\)
czyli:
\(\displaystyle{ k_1 \cdot x_1 = k_2 \cdot x_2 = ... = k_n \cdot x_n}\)

[Szwanceneger]

Trudnością dla mnie nie jest samo równanie, tylko dlaczego te siły \(\displaystyle{ P _{1},P _{2},...,P _{n} }\) zawsze są sobie równe. Nie jest to intuicyjne jak w przypadku łączenia równoległego.

[kruszewski]

Czy to objaśnienie z godz.21:20 nie jest zrozumiałe?

Jeżeli każda ze sprężyn jest rozciągana silą akcji równą reakcji stałej \(\displaystyle{ k }\) pomnożonej przez rozciągnięcie o \(\displaystyle{ x}\) ( Uwga! x nie jest tu miarą długości rozciągniętej ani dł.swobodnej sprężyny, jest przyrostem długości pod działaniem sily) to objaśnienie powinno "zadziałać".

[Dasio11]

Wprawdzie to nie mój dział, ale postaram się wyjaśnić po swojemu. Przyjmijmy, że sprężyny są numerowane od lewej do prawej liczbami \(\displaystyle{ 1, 2, \ldots, n}\). Dla \(\displaystyle{ i = 1, 2, \ldots, n}\) oznaczmy przez \(\displaystyle{ L_i}\) wartość siły, z jaką działa na sprężynę o numerku \(\displaystyle{ i}\) sprężyna po jej lewej stronie (lub jakiś punkt zaczepienia, gdy mowa o skrajnie lewej sprężynie). Oznaczmy też przez \(\displaystyle{ R_i}\) wartość siły działającej na \(\displaystyle{ i}\)-tą sprężynę z prawej strony. Wtedy:

- z trzeciej zasady dynamiki Newtona mamy \(\displaystyle{ L_{i+1} = R_i}\), czyli mówiąc prosto: jeśli jedna sprężyna ciągnie drugą w lewo, to ta druga ciągnie pierwszą w prawo z taką samą siłą;
- ponieważ każda sprężyna pozostaje w spoczynku (nie przyspiesza), siły na nią działające muszą się równoważyć, czyli \(\displaystyle{ L_i = R_i}\).

Stąd kolejno:

\(\displaystyle{ L_1 = R_1 = L_2 = R_2 = \ldots = R_{n-1} = L_n = R_n}\),

co było do udowodnienia.

[Szwanceneger]

Właśnie o to mi chodziło