Witam
Proszę o pomoc w rozwiązaniu takiego problemu: w zbiorniku z zaworem o znanej średnicy znajduje się ciecz lub gaz pod znanym ciśnieniem ile cieczy lub gazu przepłynie w czasie otwarcia zaworu przez określony czas. Czas otwarcia zaworu nie wpływa na ciśnienia(pomijamy spadek ciśnienia). Chciałbym znaleźć ogólną zależność przy pominięciu lepkości spadków ciśnienia itp. dla idealnego przypadku. Liczbowo to np może być tak: W zbiorniku 100l znajduje się woda pod ciśnieniem 10bar ile wody przepłynie jak zawór o średnicy 1 cm otworzę na 10 sekund? Proszę o pomoc z jakich praw i wzorów skorzystać?
Dziękuję za pomoc.
Przepływ
-
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 27 paź 2015, o 23:44
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 30 razy
Re: Przepływ
Zgodnie z prawem Toricellego, z naczynia mającego otwór na głębokości \(\displaystyle{ h}\), ciecz wypływać będzie z prędkością \(\displaystyle{ \sqrt{2 g h}}\), więc z taką, jaką osiągnęłaby po swobodnym spadku z wysokości \(\displaystyle{ h}\).
A wykorzystać można to tak. Ciśnienie (względem ciśnienia atmosferycznego) na głębokości \(\displaystyle{ h}\) wynosi \(\displaystyle{ p=h\rho g}\), więc prędkość z jaką ciecz wycieka to \(\displaystyle{ v=\sqrt{2 g h}= \sqrt{ \frac{2p}{\rho} } }\). Jeśli \(\displaystyle{ A}\) to pole przekroju zaworu to mamy \(\displaystyle{ \dot{V}=Av=A\sqrt{ \frac{2p}{\rho} }}\) oraz \(\displaystyle{ \dot{m}=A\rho\sqrt{ \frac{2p}{\rho} }}\).
\(\displaystyle{ \dot{V}}\) oznacza objętość, jaka wypływa w jednostce czasu a \(\displaystyle{ \dot{m}}\) to masa jaka wypływa w jednostce czasu. Pomnożenie przez czas \(\displaystyle{ t}\) daje więc objętość oraz masę.
Jeśli nie zrobiłem błędu w przekształceniach to tak można to policzyć.
A wykorzystać można to tak. Ciśnienie (względem ciśnienia atmosferycznego) na głębokości \(\displaystyle{ h}\) wynosi \(\displaystyle{ p=h\rho g}\), więc prędkość z jaką ciecz wycieka to \(\displaystyle{ v=\sqrt{2 g h}= \sqrt{ \frac{2p}{\rho} } }\). Jeśli \(\displaystyle{ A}\) to pole przekroju zaworu to mamy \(\displaystyle{ \dot{V}=Av=A\sqrt{ \frac{2p}{\rho} }}\) oraz \(\displaystyle{ \dot{m}=A\rho\sqrt{ \frac{2p}{\rho} }}\).
\(\displaystyle{ \dot{V}}\) oznacza objętość, jaka wypływa w jednostce czasu a \(\displaystyle{ \dot{m}}\) to masa jaka wypływa w jednostce czasu. Pomnożenie przez czas \(\displaystyle{ t}\) daje więc objętość oraz masę.
Jeśli nie zrobiłem błędu w przekształceniach to tak można to policzyć.
-
- Użytkownik
- Posty: 6882
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 1112 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Przepływ
Zadanie
Obliczyć objętość \(\displaystyle{ V(t) }\) wypływającej cieczy, która pozostaje w naczyniu w kształcie walca o wysokości \(\displaystyle{ H }\) i objętości \(\displaystyle{ V_{0}}\), po czasie \(\displaystyle{ t. }\)
Przyjmujemy, że wysokość \(\displaystyle{ h = h(t) }\) górnej powierzchni cieczy jest funkcję czasu \(\displaystyle{ t.}\)
Na podstawie teorii przepływu przez dwa różne przekroje \(\displaystyle{ S_{1}, S_{2} }\) (równania ciągłości) mamy:
\(\displaystyle{ v_{1} \cdot S_{1} = v_{2}\cdot S_{2} \ \ (1) }\)
gdzie
\(\displaystyle{ v_{1}, \ \ v_{2} }\) są prędkościami przepływu cieczy odpowiednio w przekrojach \(\displaystyle{ S_{1}, S_{2} }\)
Dalej mamy
\(\displaystyle{ S_{1}(h) = S_{1} = \frac{\pi}{4} D^2, \ \ S_{2} = \frac{\pi}{4} d^2, }\)
\(\displaystyle{ v_{1} = -\frac{dh}{dt}, \ \ v_{2} = \mu \sqrt{2g h} , \ \ \mu }\) -stała wypływu (dla wody \(\displaystyle{ \mu = 0,62). }\)
Wstawiamy powyższe zależności do równania \(\displaystyle{ (1) }\)
\(\displaystyle{ \frac{dh}{dt} = - \left(\frac{d}{D}\right)^2 \mu \sqrt{2g h} }\)
Rozdzielamy zmienne
\(\displaystyle{ \frac{dh}{\sqrt{2gh}} = - \left(\frac{d}{D}\right)^2\mu dt }\)
Całkując obustronnie otrzymamy
\(\displaystyle{ \int \frac{dh}{\sqrt{2gh}} = - \left(\frac{d}{D}\right)^2\mu \int dt }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{g}\sqrt{2gh} = - \left(\frac{d}{D}\right)^2\mu t + C \ \ (2) }\)
Stałą \(\displaystyle{ C }\) wyznaczamy z warunku początkowego
\(\displaystyle{ (t_{0}, h_{0}) = (0, H),}\)
\(\displaystyle{ C = \frac{1}{g}\sqrt{2gH}. }\)
Na podstawie równania \(\displaystyle{ (2) }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{g}\sqrt{2gh} = \frac{1}{g}\sqrt{2gH} - \left(\frac{d}{D}\right)^2\mu t .}\)
Z równania tego wyznaczamy wysokość słupa cieczy w zależności od czasu \(\displaystyle{ t }\)
\(\displaystyle{ h(t) = \frac{1}{2g}\left( \sqrt{2g H} - g \left (\frac{d}{D}\right)^2 \mu t \right)^2 .}\)
Objętość cieczy w naczyniu po czasie \(\displaystyle{ t }\)
\(\displaystyle{ V(t) = \pi D^2\cdot h(t) = \frac{V_{0}}{H} \cdot h(t). }\)
Jeżeli w treści zadania mamy uwzględnić zmianę ciśnienia wypływającej cieczy, to zgodnie z prawem Bernoulliego oprócz składnika \(\displaystyle{ \rho g h(t),}\) zaproponowanego przez pkwrczn, należy dodatkowo uwzględnić składnik ciśnienia dynamicznego \(\displaystyle{ p_{dyn} = \frac{1}{2} \rho v^2(t).}\)
Zadanie to można rozwiązać metodą podaną Pana dr inż. Pawła Zawadzkiego z Uniwersytetu Przyrodniczego w Poznaniu, wyznaczając z przedostatniego równania \(\displaystyle{ (a) \ \ h_{1}(\Delta t).}\) Link do wykładu 9 z Hydrauliki podany wyżej przez Pana Wiesława Kruszewskiego.
Obliczyć objętość \(\displaystyle{ V(t) }\) wypływającej cieczy, która pozostaje w naczyniu w kształcie walca o wysokości \(\displaystyle{ H }\) i objętości \(\displaystyle{ V_{0}}\), po czasie \(\displaystyle{ t. }\)
Przyjmujemy, że wysokość \(\displaystyle{ h = h(t) }\) górnej powierzchni cieczy jest funkcję czasu \(\displaystyle{ t.}\)
Na podstawie teorii przepływu przez dwa różne przekroje \(\displaystyle{ S_{1}, S_{2} }\) (równania ciągłości) mamy:
\(\displaystyle{ v_{1} \cdot S_{1} = v_{2}\cdot S_{2} \ \ (1) }\)
gdzie
\(\displaystyle{ v_{1}, \ \ v_{2} }\) są prędkościami przepływu cieczy odpowiednio w przekrojach \(\displaystyle{ S_{1}, S_{2} }\)
Dalej mamy
\(\displaystyle{ S_{1}(h) = S_{1} = \frac{\pi}{4} D^2, \ \ S_{2} = \frac{\pi}{4} d^2, }\)
\(\displaystyle{ v_{1} = -\frac{dh}{dt}, \ \ v_{2} = \mu \sqrt{2g h} , \ \ \mu }\) -stała wypływu (dla wody \(\displaystyle{ \mu = 0,62). }\)
Wstawiamy powyższe zależności do równania \(\displaystyle{ (1) }\)
\(\displaystyle{ \frac{dh}{dt} = - \left(\frac{d}{D}\right)^2 \mu \sqrt{2g h} }\)
Rozdzielamy zmienne
\(\displaystyle{ \frac{dh}{\sqrt{2gh}} = - \left(\frac{d}{D}\right)^2\mu dt }\)
Całkując obustronnie otrzymamy
\(\displaystyle{ \int \frac{dh}{\sqrt{2gh}} = - \left(\frac{d}{D}\right)^2\mu \int dt }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{g}\sqrt{2gh} = - \left(\frac{d}{D}\right)^2\mu t + C \ \ (2) }\)
Stałą \(\displaystyle{ C }\) wyznaczamy z warunku początkowego
\(\displaystyle{ (t_{0}, h_{0}) = (0, H),}\)
\(\displaystyle{ C = \frac{1}{g}\sqrt{2gH}. }\)
Na podstawie równania \(\displaystyle{ (2) }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{g}\sqrt{2gh} = \frac{1}{g}\sqrt{2gH} - \left(\frac{d}{D}\right)^2\mu t .}\)
Z równania tego wyznaczamy wysokość słupa cieczy w zależności od czasu \(\displaystyle{ t }\)
\(\displaystyle{ h(t) = \frac{1}{2g}\left( \sqrt{2g H} - g \left (\frac{d}{D}\right)^2 \mu t \right)^2 .}\)
Objętość cieczy w naczyniu po czasie \(\displaystyle{ t }\)
\(\displaystyle{ V(t) = \pi D^2\cdot h(t) = \frac{V_{0}}{H} \cdot h(t). }\)
Jeżeli w treści zadania mamy uwzględnić zmianę ciśnienia wypływającej cieczy, to zgodnie z prawem Bernoulliego oprócz składnika \(\displaystyle{ \rho g h(t),}\) zaproponowanego przez pkwrczn, należy dodatkowo uwzględnić składnik ciśnienia dynamicznego \(\displaystyle{ p_{dyn} = \frac{1}{2} \rho v^2(t).}\)
Zadanie to można rozwiązać metodą podaną Pana dr inż. Pawła Zawadzkiego z Uniwersytetu Przyrodniczego w Poznaniu, wyznaczając z przedostatniego równania \(\displaystyle{ (a) \ \ h_{1}(\Delta t).}\) Link do wykładu 9 z Hydrauliki podany wyżej przez Pana Wiesława Kruszewskiego.