Przepływ

Mechanika płynów. Sprężystość. Grawitacja. Inne zagadnienia mechaniki klasycznej.
szkarbun
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 29 sie 2020, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
wiek: 33

Przepływ

Post autor: szkarbun »

Witam
Proszę o pomoc w rozwiązaniu takiego problemu: w zbiorniku z zaworem o znanej średnicy znajduje się ciecz lub gaz pod znanym ciśnieniem ile cieczy lub gazu przepłynie w czasie otwarcia zaworu przez określony czas. Czas otwarcia zaworu nie wpływa na ciśnienia(pomijamy spadek ciśnienia). Chciałbym znaleźć ogólną zależność przy pominięciu lepkości spadków ciśnienia itp. dla idealnego przypadku. Liczbowo to np może być tak: W zbiorniku 100l znajduje się woda pod ciśnieniem 10bar ile wody przepłynie jak zawór o średnicy 1 cm otworzę na 10 sekund? Proszę o pomoc z jakich praw i wzorów skorzystać?
Dziękuję za pomoc.
pkrwczn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 164
Rejestracja: 27 paź 2015, o 23:44
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 30 razy

Re: Przepływ

Post autor: pkrwczn »

Zgodnie z prawem Toricellego, z naczynia mającego otwór na głębokości \(\displaystyle{ h}\), ciecz wypływać będzie z prędkością \(\displaystyle{ \sqrt{2 g h}}\), więc z taką, jaką osiągnęłaby po swobodnym spadku z wysokości \(\displaystyle{ h}\).

A wykorzystać można to tak. Ciśnienie (względem ciśnienia atmosferycznego) na głębokości \(\displaystyle{ h}\) wynosi \(\displaystyle{ p=h\rho g}\), więc prędkość z jaką ciecz wycieka to \(\displaystyle{ v=\sqrt{2 g h}= \sqrt{ \frac{2p}{\rho} } }\). Jeśli \(\displaystyle{ A}\) to pole przekroju zaworu to mamy \(\displaystyle{ \dot{V}=Av=A\sqrt{ \frac{2p}{\rho} }}\) oraz \(\displaystyle{ \dot{m}=A\rho\sqrt{ \frac{2p}{\rho} }}\).

\(\displaystyle{ \dot{V}}\) oznacza objętość, jaka wypływa w jednostce czasu a \(\displaystyle{ \dot{m}}\) to masa jaka wypływa w jednostce czasu. Pomnożenie przez czas \(\displaystyle{ t}\) daje więc objętość oraz masę.

Jeśli nie zrobiłem błędu w przekształceniach to tak można to policzyć.
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Re: Przepływ

Post autor: kruszewski »

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Przepływ

Post autor: janusz47 »

Zadanie

Obliczyć objętość \(\displaystyle{ V(t) }\) wypływającej cieczy, która pozostaje w naczyniu w kształcie walca o wysokości \(\displaystyle{ H }\) i objętości \(\displaystyle{ V_{0}}\), po czasie \(\displaystyle{ t. }\)

Przyjmujemy, że wysokość \(\displaystyle{ h = h(t) }\) górnej powierzchni cieczy jest funkcję czasu \(\displaystyle{ t.}\)

Na podstawie teorii przepływu przez dwa różne przekroje \(\displaystyle{ S_{1}, S_{2} }\) (równania ciągłości) mamy:

\(\displaystyle{ v_{1} \cdot S_{1} = v_{2}\cdot S_{2} \ \ (1) }\)

gdzie

\(\displaystyle{ v_{1}, \ \ v_{2} }\) są prędkościami przepływu cieczy odpowiednio w przekrojach \(\displaystyle{ S_{1}, S_{2} }\)

Dalej mamy

\(\displaystyle{ S_{1}(h) = S_{1} = \frac{\pi}{4} D^2, \ \ S_{2} = \frac{\pi}{4} d^2, }\)

\(\displaystyle{ v_{1} = -\frac{dh}{dt}, \ \ v_{2} = \mu \sqrt{2g h} , \ \ \mu }\) -stała wypływu (dla wody \(\displaystyle{ \mu = 0,62). }\)

Wstawiamy powyższe zależności do równania \(\displaystyle{ (1) }\)

\(\displaystyle{ \frac{dh}{dt} = - \left(\frac{d}{D}\right)^2 \mu \sqrt{2g h} }\)

Rozdzielamy zmienne

\(\displaystyle{ \frac{dh}{\sqrt{2gh}} = - \left(\frac{d}{D}\right)^2\mu dt }\)

Całkując obustronnie otrzymamy

\(\displaystyle{ \int \frac{dh}{\sqrt{2gh}} = - \left(\frac{d}{D}\right)^2\mu \int dt }\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{g}\sqrt{2gh} = - \left(\frac{d}{D}\right)^2\mu t + C \ \ (2) }\)

Stałą \(\displaystyle{ C }\) wyznaczamy z warunku początkowego

\(\displaystyle{ (t_{0}, h_{0}) = (0, H),}\)

\(\displaystyle{ C = \frac{1}{g}\sqrt{2gH}. }\)

Na podstawie równania \(\displaystyle{ (2) }\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{g}\sqrt{2gh} = \frac{1}{g}\sqrt{2gH} - \left(\frac{d}{D}\right)^2\mu t .}\)

Z równania tego wyznaczamy wysokość słupa cieczy w zależności od czasu \(\displaystyle{ t }\)

\(\displaystyle{ h(t) = \frac{1}{2g}\left( \sqrt{2g H} - g \left (\frac{d}{D}\right)^2 \mu t \right)^2 .}\)

Objętość cieczy w naczyniu po czasie \(\displaystyle{ t }\)

\(\displaystyle{ V(t) = \pi D^2\cdot h(t) = \frac{V_{0}}{H} \cdot h(t). }\)

Jeżeli w treści zadania mamy uwzględnić zmianę ciśnienia wypływającej cieczy, to zgodnie z prawem Bernoulliego oprócz składnika \(\displaystyle{ \rho g h(t),}\) zaproponowanego przez pkwrczn, należy dodatkowo uwzględnić składnik ciśnienia dynamicznego \(\displaystyle{ p_{dyn} = \frac{1}{2} \rho v^2(t).}\)

Zadanie to można rozwiązać metodą podaną Pana dr inż. Pawła Zawadzkiego z Uniwersytetu Przyrodniczego w Poznaniu, wyznaczając z przedostatniego równania \(\displaystyle{ (a) \ \ h_{1}(\Delta t).}\) Link do wykładu 9 z Hydrauliki podany wyżej przez Pana Wiesława Kruszewskiego.
ODPOWIEDZ