Prędkość pręta

[andrewha]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania (jakieś wskazówki), bo nie wychodzi mi ładnie.
Zadanie: Do środka krążka o promieniu \(\displaystyle{ r}\) i prędkości kątowej \(\displaystyle{ \omega}\) przymocowany jest pręt o długości \(\displaystyle{ L}\). Oblicz prędkość pręta przesuwającego się po ścianie nachylonej pod kątem \(\displaystyle{ \beta }\) . Początkowy kąt nachylenia pręta do poziomu wynosi \(\displaystyle{ \alpha }\).
Rysunek:

[pkrwczn]

Koniec pręta znajduje się na ścianie w odległości \(\displaystyle{ A_0}\), mierząc wzdłuż ściany od podłogi. Po czasie \(\displaystyle{ \Delta t}\) ta odległość wyniesie \(\displaystyle{ A_{\Delta t}}\). Prędkość tego punktu w tej chwili to pochodna przemieszczenia po czasie \(\displaystyle{ \dot{A} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{A_{\Delta t}-A_0}{\Delta t}}\).

\(\displaystyle{ A_0}\) zależy od \(\displaystyle{ L}\), \(\displaystyle{ r}\), \(\displaystyle{ \alpha}\), \(\displaystyle{ \beta}\) i wyznaczamy to geometrycznie.

\(\displaystyle{ A_{\Delta t}}\) podobnie, tylko że krążek zbliży się w do ściany o \(\displaystyle{ r\omega\Delta t}\) a kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) wzrośnie.

Tak w zarysie.

[kruszewski]

Jeżeli w zadaniu podany jest kąt nachylenia pręta \(\displaystyle{ \alpha}\) , i pędkość kątowa \(\displaystyle{ \omega}\) krążka jest stała to kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) jest tu kątem określającym położenie końca pręta na ścianie a pytanie jest o prędkość ruchu końca pręta ślizgającego się po niej.
Myślę, że zadanie polega na wyznaczeniu prędkości końca pręta w jego ruchu obrotowym względem chwilowego środka obrotu pręta w położeniu zadanym kątem \(\displaystyle{ \alpha }\).
Oczywista, że można postawić zadanie jako wyznaczenie prędkości ruchu ślizgania się końca pręta, ale wtedy nie jest potrzebny w treści zadania kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) bo zadanie znacznie komplikuje się "rachunkowo" a odległość osi krążka od krawędzi równi.
Stąd takie moje przypuszczenie.

[siwymech]

Kod: Zaznacz cały

https://images92.fotosik.pl/388/a1f35853a3809479med.jpg

Ruch płaski ciała sztywnego. Dla chwilowego położenia ciała określonego kątami \(\displaystyle{ \alpha , \beta }\)zastosujemy metodę np. chwilowego środka obrotu chcąc wyznaczyć prędkości preta wp.O i A.
.................................
1. W punkcie styku koła i podłoża znajdujemy chwilowy środek obrotu dla koła - p.\(\displaystyle{ S}\)
2.Predkość środka koła i jednoczesnie prędkośc pręta w punkcie \(\displaystyle{ O}\) obliczamy ;
\(\displaystyle{ v _{o} = \omega \cdot \left| OS\right| = \omega \cdot R}\)
3. oibliczamy prędkość p.A pręta
3.1. Wyznaczamy chwilowy środek obrotu pręta- na rys.p.C
3.2. Obliczamy prędkość kątową pręta p.A wzgl. chwilowego środka obrotu C
\(\displaystyle{ \omega _{AO}= \frac{v _{o} }{\left| CO\right| } }\)
3.3. Prędkość p.A
\(\displaystyle{ v _{A} = \omega _{AO} \cdot \left| AC\right|}\)
.................................................................
Długość promieni \(\displaystyle{ \left| AO, CO\right| }\) wyznaczamy rozw. trójkąt ACO( tw.sinusów) .

[andrewha]

Dziękuje bardzo za podpowiedzi. Ja zrobiłem to w inny sposób, ale zajęło mi to 3 strony i rozwiązanie jest na 2 linijki.

1). Obliczyłem drogę jaką przebędzie krążek z położenia na rysunku górnym do położenia na rysunku dolnym, oraz czas w jakim to nastąpiło:\(\displaystyle{ v_{0}=\omega \cdot R }\)
\(\displaystyle{ v_{0} = \frac{s}{t} }\), zatem
\(\displaystyle{ t= \frac{s}{\omega \cdot R}= \frac{l \cdot sin( \beta - \alpha )}{\omega \cdot R \cdot sin( 180^{o}- \beta }}\) .
2). Obliczyłem jaką drogę przebył w tym czasie punkt A pręta i stąd policzyłem jego szybkość liniową.

Co tym sądzicie? Czy to jest dobrze?

[kruszewski]

Tyle tylko, że jest to prędkość średnia, podobnie jak handlowa pociągu.