Moment bezwładności

[Mires98]

Mam do obliczenia moment bezwładności figury płaskiej.
Link:

\(\displaystyle{ P_{I} = 312,5 \pi }\)
\(\displaystyle{ P_{II} = 50 \pi }\)

Obliczony środek ciężkości ( to na pewno mam dobrze):
\(\displaystyle{ x_{c} = 0 }\)
\(\displaystyle{ y_{c} \approx 11,82 }\)

Moment bezwładności coś tu robię źle ( korzystam z twierdzenia Steinera i wzorów Link: )
\(\displaystyle{ I figura J_{x0} = 0,1098 \cdot 25^{4} + 312,5 \pi \cdot (11,82 - \frac{100}{3 \pi })^{2} \approx 44327,219 }\)
\(\displaystyle{ II figura J_{x0} = 0,1098 \cdot 10^{4} + 50 \pi \cdot (11,82 - \frac{40}{3 \pi })^{2} \approx 10113,394 }\)
\(\displaystyle{ Cała figura J_{x0} = 44327,219 - 19113,394 \approx 34213,825}\)

Prosiłbym o nakreślenie moich błędów i naprowadzenie mnie na poprawne rozwiązanie tego zadania. Z góry dziękuje za pomoc.

[kruszewski]

Czy to nie zakamuflowana prośba o sprawdzenie rachunków?
Proszę napisać wzory końcowe liczbami ogólnymi i do nich podstawić szczególne.
Dobrze jest wcześniej napisać wzór Steinera wg definicji i przekształcać go do potrzebnej postaci.

[siwymech]

1.Korzystamy z tw. Steinera:
\(\displaystyle{ J _{x}=J _{xc}+a ^{2} \cdot P }\)
1.1.Jeżeli przechodzimy z osi dowolnej(x) do osi środkowej(xc) , to mamy postać wzoru
\(\displaystyle{ J _{xc}=J _{x}-a ^{2} \cdot P }\)
\(\displaystyle{ a }\) -odległość między osiami
\(\displaystyle{ P}\)- pole figury- przekroju.
2.1. Moment bezwładności pełnego koła
\(\displaystyle{ J _{x} = \frac{ \pi \cdot R ^{4} }{4} }\)
2.2.Moment bezwładności dla półkola wzgl. średnicy jest równy, połowie momentu bezwładności dla dla koła
\(\displaystyle{ J _{x} = \frac{ \pi \cdot R ^{4} }{8} }\)
3.Szukamy momentu bezwładności wzgl. osi przechodzącej przez środek ciężkości całej figury, stąd dla przekrojów 1 i 2 mamy:
\(\displaystyle{ J _{xc1}=J _{x1}-a _{1} ^{2} \cdot P }\)
\(\displaystyle{ J _{xc2}=J _{x2}-a _{2} ^{2} \cdot P }\)
4.Moment bezwładności dla całego przekroju
\(\displaystyle{ J _{xc}=J _{xc1}- J _{xc2} }\)
/Odejmujemy momenty bezwład. dużego od małego półkola/

[Mires98]

Czyli to powinno wyglądać tak:
\(\displaystyle{ J_{xc1} = \frac{ \pi \cdot 25^{4} }{8} - (11,82 - \frac{4 \cdot 25}{3 \pi })^{2} \cdot 312,5 \pi =...}\)
\(\displaystyle{ J_{xc2} = \frac{ \pi \cdot 10^{4} }{8} - (11,82 - \frac{4 \cdot 10}{3 \pi })^{2} \cdot 50 \pi =...}\)
\(\displaystyle{ J_{xc} = J_{xc1} - J_{xc2} = ... }\)
Dobrze to zrozumiałem?

[siwymech]

Proszę jeszcze uwzględnić jednostkę osiowego momentu bezwładności figury płaskiej.

[kruszewski]

Jak rozumieć owe uwzględnienie?
W.Kr.

[Mires98]

Chodzi chyba o moment bezwładności względem osi \(\displaystyle{ y_{c} }\)
\(\displaystyle{ J_{yc1} = \frac{ \pi \cdot 25 ^{4} }{8} =... }\)
\(\displaystyle{ J_{yc2} = \frac{ \pi \cdot 10 ^{4} }{8} =... }\)
\(\displaystyle{ J_{yc} = J_{yc1}-J_{yc2} = ...}\)

[kruszewski]

Myślę, że nie o to chodzi, ale musi to wyjaśnić p. siwymech

[siwymech]

Nie może Pan podawać wyników, li tylko jako wartości liczbowych. Moment bezwładności figury płaskiej ma jednostkę.
W układzie SI;
\(\displaystyle{ J _{k}=P \cdot r ^{2} }\)
\(\displaystyle{ J _{k}=m ^{2} \cdot m ^{2}=m ^{4} }\)
Używane pochodne j. : \(\displaystyle{ cm ^{4}, mm ^{4} }\)
-----------------------------------------------------------
\(\displaystyle{ r[m]}\)- odległość środka ciężkości figury o polu \(\displaystyle{ P[m ^{2} ] }\) od osi \(\displaystyle{ k}\).

[Mires98]

Licząc moment bezwładności dla \(\displaystyle{ J_{xc2} }\) wychodzi mi ujemny wynik dlaczego?

\(\displaystyle{ J_{xc2} = \frac{ \pi \cdot 10^{4} }{8} - (11,82- \frac{40}{3 \pi })^{2} \cdot 50 \pi = 3926,9908 - 9015,3937 = -5088,4029 }\)

[kruszewski]

Pisałem wcześniej: "Dobrze jest wcześniej napisać wzór Steinera wg definicji i przekształcać go do potrzebnej postaci."
Prosę zauważyć, że \(\displaystyle{ \frac{ \pi \cdot 10^{4} }{8}}\) nie jest wzorem na moment bezwładności małego półkola względem osi równoległej do osi \(\displaystyle{ x_c}\) przechodzącej przez środek ciężkości tego półkola.