Statyka bryły - belka typu pręt

[Niepokonana]

Witam

Proszę o wyjaśnienie, jak to się robi, bo nie rozumiem.
Mamy belkę o długości \(\displaystyle{ l=3m}\) i masie \(\displaystyle{ m=100 kg}\) i proszę nie zmieniać tych oznaczeń.
Belka leży sobie na podpórkach. Jedna podpórka jest w odległości \(\displaystyle{ 1m}\) od końca belki, druga jest po przeciwnej stronie na samym końcu belki. Oblicz siły nacisku na podpórki.
Moment siły wypadkowy czy jakiś tam moment będzie równy zero, czyli moment siły ciężkości zrównoważy momenty sił, którymi podpórki działają na belkę czyli \(\displaystyle{ F_{1} }\)i \(\displaystyle{ F_{2}}\). Tylko jaki jest stosunek między \(\displaystyle{ F_{1}}\) a \(\displaystyle{ F_{2}}\) i skąd się on bierze?

[kruszewski]

Proszę zauważyć, że siła ciężkości belki jest wypadkową dwu sił działających w "podpórkach", i to, że wszystkie te siły są równoległe do siebie i pionowe, bo siła ciężaru jest pionowa.
Proszę teraz otworzyć podręcznik fizyki, rozdział o wypadkowej sił równoległych i mając wypadkową (ciężar belki) i odległość od niej dwu sił składowych na nią, czyli problem "odwrotny" do zastąpienia ich wypadkową, obliczyć te siły składowe.

[Niepokonana]

1. Nie mam podręcznika.
2. Nie mam podręcznika i mieć nie będę, nawet nie wiem, jaki powinnam mieć.
3. A mógłby mi Pan to wytłumaczyć? Wiem, że to się zrównoważy, ale jak? Jakie są zależności między tymi naciskami?

[kruszewski]

Bez podręcznika z tej części fizyki, czyli z mechaniki był na pewno Isaak Newton. Później inni już mieli książki na ten temat.
Ale jak bez poręcznika, to napiszę, że moment siły w lewej podporze, względem punktu wspólnego (jednocześnie przynależnego do osi podłużnej belki i prostej do której przynależy wektor siły ciężkości belki) równoważy moment siły dzialającej w drugiej podporze względem tego punktu.
Spełnienie tego warunku zapewnia nas, że belka nie będzie w ruchu obrotowym.
Można powiedzieć również i tak: jeżeli belka jest w równowadze pod działaniem na nią sił zewnętrznych to algebraiczna suma ich momentów względem dowolnego punktu belki równa jest zeru.

Jednocześnie muszą być spełnione warunki : algebraicznych sum rzutów sił na dwie nierównoległe do siebie osie równych zeru na każdą z tych osi. Spełnienie tych warunków zapewnia brak ruchu belki po w dowolnym kierunku.

[Niepokonana]

A gdzie jest ten punkt wspólny i jak go wyznaczyć?

[kruszewski]

Patrząc na oś belki i kierunek siły ciężkości.

[Niepokonana]

Nie rozumiem. Dlaczego mi Pan tego po prostu nie wyjaśni? Belka ma oś pionową po środku.

[kruszewski]

Oś belki jest tu prostą poziomą a nie symetralną jej długości.

[siwymech]

Koniecznie trzeba sporządzić schemat obciążenia belki. Patrz rysunek- etapy...

Podano masę belki \(\displaystyle{ m}\), to wielkość skalarna( na rys. obrazujemy jako punkt), stąd przechodzimy na wielkość wektorową- ciężar belki( siła ciężkości) \(\displaystyle{ \vec G=mg}\)-znamy cechy tego wektora: wartość równa\(\displaystyle{ mg}\), kierunek pionowy, zwrot w dół, punkt zaczepienia w środku masy.
Belkę podparto i uczyniono ją ciałem nieswobodnym, ruch krepują podpory. Ciężar belki powoduje wystąpienie reakcji w punktach podparcia belki. Ujawniamy reakcje- siły w podporach, których wartość mamy obliczyć. - \(\displaystyle{ R _{A}, R _{C}. }\)
Zwracamy uwagę na niesymetryczne obciążenie belki. Patrz rysunek.
..................................................................................
Do rozw. wykorzystujemy warunki równowagi - spoczynku ciała -belki.
Mamy znaleźć dwie niewiadome wielkosći, a więc potrzebne będą dwa równania!
1. I równanie- równowagi belki
Wypadkowa wszystkich sił działajacych na belkę musi być równa zero, wtedy belka wspoczynku.
Suma sił na kierunek pionowy daje zależność:
\(\displaystyle{ -G+{R _{A} +R _{C}=0 } }\), (1)
/ Zwracamy uwagę na zwroty sił! Siła \(\displaystyle{ G}\) ma zwrot przeciwny do reakcji. Można przyjąć sobie oś \(\displaystyle{ y}\) , jako oś odniesienia./
2. II równanie równowagi. Suma momentów wszystkich sił wzgl wybranego punktu musi być równa zero.
/Belka nie może się obracac pod wpływem momentu siły, stąd tak sformułowano drugi warunek spoczynku- równowagi belki./
Wybieramy dowolny punkt względem , którego bedziemy ob. momenty od każdej z sił. Wybrano punkt A. Tworzymy sumę momentów sił wzgl. p. A otrzymując warnek równowagi momentów sił;
\(\displaystyle{ R _{A} \cdot 0-G( \frac{l}{2} - \frac{l}{3})+R _{C} (l- \frac{l}{3})=0 }\), (2)
/Trzeba określić ramię działania każdej z sił wzgl punktu A. Przyjąć znak momentu siły. Tu przyjęto, znak momentu jako dodatni, jeżeli siła dąży do obrócenia swego ramienia \(\displaystyle{ r}\) dookoła punktu A w stronę niezgodną z ruchem wskazówek zegara( w lewo).
3. Rozwiązując równania (1) i (2)znajdujemy dwie szukane wielkości- reakcje w belce.
......................................................................

[janusz47]

Dane

\(\displaystyle{ l = 3m, \ \ m = 100 kg }\)

Obliczyć

\(\displaystyle{ R_{A}, \ \ R_{B} }\) - wartości sił reakcji w podporach belki

Wykonujemy rysunek belki z lewą podporą \(\displaystyle{ A }\) w odległości \(\displaystyle{ \frac{1}{3}l = 1m }\) od jej lewego końca.

Z prawą podporą \(\displaystyle{ B }\) na końcu belki. Zaznaczamy siły reakcji \(\displaystyle{ \vec{R}_{A}, \ \ \vec{R}_{B} }\) w podporach o zwrotach pionowych do góry.

W środku belki \(\displaystyle{ \frac{l}{2} }\) zaznaczamy siłę ciężkości \(\displaystyle{ \vec{P} }\) o zwrocie pionowym do dołu.

Z rysunku wynika, że siła ciężkości belki znajduje w odległości \(\displaystyle{ \frac{1}{2}l - \frac{1}{3}l = \frac{1}{6}l }\) od podpory \(\displaystyle{ A.}\)

Belka oparta na podporach \(\displaystyle{ A, B }\) jest w równowadze.

Korzystamy z warunków równowagi statycznej:

-suma rzutów sił na w kierunku pionowym \(\displaystyle{ Oy }\)

\(\displaystyle{ \sum F_{y} = 0 }\)

\(\displaystyle{ R_{A}\uparrow + R_{B} \uparrow - P\downarrow = 0 \ \ (1)}\)

-suma momentów sił względem podpory \(\displaystyle{ A }\)

\(\displaystyle{ \sum M_{A} = 0 }\)

\(\displaystyle{ R_{B}\cdot \left( \frac{1}{2}l + \frac{1}{6}l \right) \nwarrow - P\cdot \frac{1}{6}l \searrow = 0 \ \ (2) }\)

Z równania \(\displaystyle{ (2) }\) obliczamy wartość siły reakcji \(\displaystyle{ R_{B} }\)

\(\displaystyle{ R_{B}\cdot \frac{4}{6} l = P \cdot \frac{1}{6} l }\)

\(\displaystyle{ R_{B} \cdot \frac{2}{3}l = P \cdot \frac{1}{6}l }\)

\(\displaystyle{ R_{B} = P \cdot \frac{1}{6}l \cdot \frac{3}{2 l} = \frac{1}{4} P }\)

\(\displaystyle{ R_{B} = \frac{1}{4}\cdot m \cdot g }\)

\(\displaystyle{ R_{B} = \frac{1}{4}\cdot (100 kg) \cdot (10 \frac{m}{s^2}) = 250 N.}\)

Z równania \(\displaystyle{ (1) }\) wyznaczamy wartość siły \(\displaystyle{ R_{A} }\)

\(\displaystyle{ R_{A} = P - R_{B} = m\cdot g - R_{B} = (1000 - 250 )N = 750 N. }\)

[siwymech]

Uzupełnienie do równań równowagi belki. Ćwiczenie i sprawdzenie!

Poprawność rozwiązania możemy sprawdzić pisząc warunek równowagi momentów wszystkich sił względem innego bieguna np.punktu C:
\(\displaystyle{ -R _{A} \cdot ( l - \frac{l}{3} )+G(l- \frac{l}{2} +R _{C} \cdot 0 =0}\)
\(\displaystyle{ -R_{A} \cdot 2m+G \cdot 1,5m=0}\)
{Określono ramię od każdej siły wzgl.p.C}

[Niepokonana]

Koniecznie trzeba sporządzić schemat obciążenia belki. Patrz rysunek- etapy...

Podano masę belki \(\displaystyle{ m}\), to wielkość skalarna( na rys. obrazujemy jako punkt), stąd przechodzimy na wielkość wektorową- ciężar belki( siła ciężkości) \(\displaystyle{ \vec G=mg}\)-znamy cechy tego wektora: wartość równa\(\displaystyle{ mg}\), kierunek pionowy, zwrot w dół, punkt zaczepienia w środku masy.
Belkę podparto i uczyniono ją ciałem nieswobodnym, ruch krepują podpory. Ciężar belki powoduje wystąpienie reakcji w punktach podparcia belki. Ujawniamy reakcje- siły w podporach, których wartość mamy obliczyć. - \(\displaystyle{ R _{A}, R _{C}. }\)
Zwracamy uwagę na niesymetryczne obciążenie belki. Patrz rysunek.
..................................................................................
Do rozw. wykorzystujemy warunki równowagi - spoczynku ciała -belki.
Mamy znaleźć dwie niewiadome wielkosći, a więc potrzebne będą dwa równania!
1. I równanie- równowagi belki
Wypadkowa wszystkich sił działajacych na belkę musi być równa zero, wtedy belka wspoczynku.
Suma sił na kierunek pionowy daje zależność:
\(\displaystyle{ -G+{R _{A} +R _{C}=0 } }\), (1)
/ Zwracamy uwagę na zwroty sił! Siła \(\displaystyle{ G}\) ma zwrot przeciwny do reakcji. Można przyjąć sobie oś \(\displaystyle{ y}\) , jako oś odniesienia./
2. II równanie równowagi. Suma momentów wszystkich sił wzgl wybranego punktu musi być równa zero.
/Belka nie może się obracac pod wpływem momentu siły, stąd tak sformułowano drugi warunek spoczynku- równowagi belki./
Wybieramy dowolny punkt względem , którego bedziemy ob. momenty od każdej z sił. Wybrano punkt A. Tworzymy sumę momentów sił wzgl. p. A otrzymując warnek równowagi momentów sił;
\(\displaystyle{ R _{A} \cdot 0-G( \frac{l}{2} - \frac{l}{3})+R _{C} (l- \frac{l}{3})=0 }\), (2)
/Trzeba określić ramię działania każdej z sił wzgl punktu A. Przyjąć znak momentu siły. Tu przyjęto, znak momentu jako dodatni, jeżeli siła dąży do obrócenia swego ramienia \(\displaystyle{ r}\) dookoła punktu A w stronę niezgodną z ruchem wskazówek zegara( w lewo).
3. Rozwiązując równania (1) i (2)znajdujemy dwie szukane wielkości- reakcje w belce.
......................................................................

Czyli po prostu wyznaczyć sobie oś w dowolnym punkcie belki i wyznaczyć momenty sił działających na belkę? Teraz już rozumiem.

[janusz47]

Jeśli weźmiemy do ręki podręcznik metodyka rozwiązywania zadań ze statyki , to napisane jest w nim, że należy - wybierać punkty względem których liczymy sumę momentów tak, aby obliczenia były jak najprostsze. Takim punktem w tym zadaniu był punkt podpory \(\displaystyle{ A.}\)

Z całym szacunkiem dla Pana siwymech za pokazanie metody wyboru dowolnych punktów belki, względem którego liczymy sumę momentów, ale zaciemnia to obraz prostego sposobu rozwiązania tego szkolnego zadania.

[Niepokonana]

Ale ja rozumiem sposób pana Siwegomecha, tylko niepotrzebnie zamienił literki miejscami w którymś miejscu, ale się domyśliłam, o co chodzi.

[siwymech]

W tym układzie sił wybór punktu - bieguna nie odgrywa znaczenia.
Dziękuję za recenzję, autorce postu
P.S.
Gwoli ścisłości dodam, powołując się na metodykę nauczania statyki, oś wybieramy licząc moment siły wzgledem osi, ale te obliczenia dotyczą przestrzennego układu sił!