Ciała jednorodne mają tę samą gęstość
\(\displaystyle{ \rho= \frac{dm}{dV}= \frac{m}{V} = const }\)
/Watości stałe możemy wynieść poza znak całki. W geometrii mas: gęstość, ciężar właściwy, masa, pole powierzchni, objętość itp./.
Dodano po 5 godzinach 10 minutach 3 sekundach:
Kod: Zaznacz cały
https://images92.fotosik.pl/313/285e0da0c5ea2731med.jpg
przy
znanej gęstości materiału pręta \(\displaystyle{ \rho}\)
Jeżeli pręt o stałym przekroju, to masa
\(\displaystyle{ m}\) pręta równomiernie rozłożona na jego długości
\(\displaystyle{ l}\) i zachodzi proporcja
\(\displaystyle{ \frac{dm}{m}= \frac{dl}{l} }\) , (1)
Ponadto
\(\displaystyle{ m=V \cdot \rho}\)
..............................................
Dzielimy pręt na elementarne odcinki o długości
\(\displaystyle{ dy}\) w odległości
\(\displaystyle{ y}\) od osi
\(\displaystyle{ Ox}\)
Elementarna masa na podstawie wzoru (1)
\(\displaystyle{ dm= \frac{m}{l} \cdot dy= \frac{V \cdot \rho}{l} \cdot dy }\)
1.Korzystamy z def. momentu bezwładności
\(\displaystyle{ J _{x}=\int\limits_{0}^{l} y ^{2} \cdot dm= \int\limits_{0}^{l}\frac{V \cdot \rho}{l} y ^{2} dy= \frac{V \cdot \rho}{l} \int\limits_{0}^{l} y ^{2} dy=\frac{V \cdot \rho}{l}\left[ \frac{y ^{3} }{3} \right] = \frac{V \cdot \rho \cdot l ^{3} }{{3l} } = \frac{ml ^{2} }{3} }\)
/Iloraz
\(\displaystyle{ \frac{V \cdot \rho}{l}}\) jest stały , stad wyprowadzony jako "stała" przed znak całki!/
.................................................................................
