Na forum pojawiło się zadanie o nateępującej treści
W naczyniu z wodą i warstwą oleju słonecznikowego zanurzono sześcian o krawędzi \(\displaystyle{ 0,3 m }\) wykonany z drewna bukowego. Górna powierzchnia sześcianu wystaje \(\displaystyle{ 0,005 m }\) ponad powuierzchnię oleju.
Proszę obliczyć:
a) jak głęboko jest zanurzony sześcian w wodzie?;
b) wartość siły wyporu, którą olej działa na sześcian;
c) ciężar ciała, które należałoby, położyć na górnej ścianie, aby nie wystawał ponad warstwę oleju.
Dane
\(\displaystyle{ a = 0,3 m }\)
\(\displaystyle{ a_{y} = 0,005 m }\)
\(\displaystyle{ g = 10 \frac{m}{s^2} }\)
Dodatkowo odczytujemy z tablicy
\(\displaystyle{ \rho_{w} = 1000 \frac{kg}{m^3} }\) -gęstość wody
\(\displaystyle{ \rho_{b} = 970 \frac{kg}{m^3} }\) - gęstość drewna bukowego
\(\displaystyle{ \rho_{o} = 920 \frac{kg}{m^3} }\) - gęstość okeju słonecznikowego
Obliczyć
a) \(\displaystyle{ h_{w} }\) - głębokość zanurzenia sześcianu w wodzie;
b) \(\displaystyle{ F_{w} }\) - wartość siły wyporu, którą olej działa na sześcian;
c) \(\displaystyle{ F_{s} }\) - ciężar ciała,które należałoby położyć na sześcian, aby nie wystawał ponad warstwę oleju.
Analiza zadania
W naczyniu z dolną warstwą wody i górną warstwą oleju \(\displaystyle{ \rho_{w}> \rho_{o} }\) zanurzony jest sześcian.
Przyjmujemy, wysokość zanurzenia sześcianu w wodzie \(\displaystyle{ h_{w}, }\) w oleju \(\displaystyle{ h_{o} }\)
Stąd wynika że suma wysokości \(\displaystyle{ h_{w}+ h_{o} + a_{y} = a }\) jest równa długości krawędzi sześcianu.
Rozwiązanie
a)
Układ sześcian- woda -olej słonecznikowy jest w równowadze, możemy więc zapisać równanie wektorowe wynikające z równowagi statycznej układu
\(\displaystyle{ \vec{F}_{g} + \vec{F}_{w} + \vec{F}_{o} = 0 }\)
Równanie skalarne rzutów sił na oś \(\displaystyle{ Oy}\)
\(\displaystyle{ F_{g} - F_{w} - F_{o} = 0 }\)
\(\displaystyle{ F_{g} = F_{w} + F_{o} }\)
Z II zasady dynamiki
\(\displaystyle{ m\cdot g = m_{w}\cdot g + m_{o}\cdot g | : g}\)
\(\displaystyle{ m = m_{w} + m_{o} \ \ (1)}\)
Masy: sześcianu wody, oleju obliczamy, wykorzystując wzór na gęstość \(\displaystyle{ \rho = \frac{m}{v} }\)
Objętość sześcianu
\(\displaystyle{ v_{s} = a^3 }\)
Objętość wody w naczyniu
\(\displaystyle{ v_{w} = a^2\cdot h_{w}; }\)
Objętość oleju w naczyniu
\(\displaystyle{ v_{o} = a^2\cdot h_{o}; }\)
Masa sześcianu
\(\displaystyle{ m = \rho_{b}\cdot v = \rho_{b} \cdot a^3 \ \ (2)}\)
Masa wody
\(\displaystyle{ m_{w} = \rho_{w}\cdot v_{w}= \rho a^2\cdot h_{w} \ \ (3) }\)
Masa oleju
\(\displaystyle{ m_{o} = \rho_{o}\cdot v_{o}= \rho a^2\cdot h_{o} \ \ (4)}\)
Podstawiamy równania \(\displaystyle{ (2), (3), (4) }\) do równania \(\displaystyle{ (1) }\)
\(\displaystyle{ \rho_{b}\cdot a^3 = \rho_{w}\cdot a^2\cdot h_{w}+ \rho_{o}\cdot a^2\cdot h_{o} }\)
Dzielimy równanie przez \(\displaystyle{ a^2 }\)
\(\displaystyle{ \rho_{b} \cdot a = \rho\cdot h_{w} + \rho_{o}\cdot h_{o} \ \ (5) }\)
Wysokość słupa oleju \(\displaystyle{ h_{o} }\) przedstawiamy jako różnicę wysokości
\(\displaystyle{ h_{o} = a - a_{y} - h_{w} \ \ (6) }\)
Podstawiamy \(\displaystyle{ (6) }\) do \(\displaystyle{ (5) }\)
\(\displaystyle{ \rho_{b} \cdot a = \rho_{w}\cdot h_{w} + \rho_{o}\cdot ( a - a_{y} - h_{w}) }\)
Z równania tego obliczamy wysokość słupa wody \(\displaystyle{ h_{w} }\)
\(\displaystyle{ \rho_{b} \cdot a = \rho_{w}\cdot h_{w} + \rho_{o}\cdot a -\rho_{o}\cdot a_{y} -\rho_{o}\cdot h_{w} }\)
\(\displaystyle{ \rho_{b}\cdot a - \rho_{o}\cdot a+\rho_{o}\cdot a_{y} = \rho_{w}\cdot h_{w} - \rho_{o}\cdot h_{w} }\)
\(\displaystyle{ a( \rho_{b} - \rho_{o}) + \rho_{o}\cdot a_{y} = h_{w}( \rho_{w} - \rho_{o}) }\)
\(\displaystyle{ h_{w} = \frac{a(\rho_{b} - \rho_{o}) +\rho_{o}\cdot a_{y}}{\rho_{w}- \rho_{o}} }\)
Podstawiając dane liczbowe otrzymujemy
\(\displaystyle{ h_{w} = \frac{0.3(m) \left[ 970\left(\frac{kg}{m^3}\right) - 920\left(\frac{kg}{m^3}\right) \right] + 920 \left(\frac{kg}{m^3}\right)\cdot 0,005(m)}{1000\left(\frac{kg}{m^3}\right) - 920 \left(\frac{kg}{m^3}\right )} = 0,245 m = 24, 5 cm. }\)
b)
Ze wzoru na siłę wyporu
\(\displaystyle{ F_{w} = \rho_{o}\cdot g \cdot v_{o} }\)
\(\displaystyle{ F_{w} = \rho_{o}\cdot g \cdot a^2 \cdot h_{o} }\)
\(\displaystyle{ F_{w} = \rho_{o}\cdot g \cdot( a - d - h_{w}) }\)
\(\displaystyle{ F_{w} = 920\left(\frac{kg}{m^3}\right) \cdot 10 \left(\frac{m}{s^2}\right)\cdot (0,3)^2(m^2) \cdot [0,3(m) -0,005(m)-0,245(m)] = 41, 4 N. }\)
c)
Po postawieniu na górną powierzchnię sześcianu ciała o ciężarze \(\displaystyle{ F_{s} }\) - jego głębokoąć w oleju nie zmieni się natomiast zmieni się wysokość zanurzenia \(\displaystyle{ h'_{w} }\) w wodzie o wartość \(\displaystyle{ a_{y} }\)- która wystawała ponad powierzchnię oleju
\(\displaystyle{ h'_{w} = h_{w} + a_{y} }\)
Objętość wypartej wody \(\displaystyle{ v_{w} = a^2(h_{w} + a_{y}). }\)
W tym przypadku otrzymujemy następujące równanie bilansu sił
\(\displaystyle{ F_{g} + F_{s} = F_{o} + F'_{w} }\)
\(\displaystyle{ F_{s} = F_{o} + F'_{w}- F_{g} }\)
\(\displaystyle{ F_{s} = m_{o}\cdot g +m'_{w}\cdot g - m\cdot g = (m_{o}+m'_{w}- m)\cdot g }\)
\(\displaystyle{ F_{s} = m_{o} + m'_{w} - m }\)
\(\displaystyle{ F_{s} = \rho_{o} \cdot v_{o} + \rho_{w}\cdot v'_{w} - \rho_{b}\cdot v)\cdot g }\)
\(\displaystyle{ F_{s} = \rho_{o}\cdot a^2\cdot h_{o} + \rho_{w}\cdot a^2\cdot(h_{w}+ a_{y}) - \rho_{b} a^3 )\cdot g }\)
\(\displaystyle{ F_{s} = a^2 \cdot g \cdot [\rho_{o}h_{o} + \rho_{w}\cdot( h_{w}+a_{y}) - \rho_{b}\cdot a] }\)
Po podstawieniu danych liczbowych:
\(\displaystyle{ F_{s} = (0,3)^2 (m^2) \cdot 10 \left(\frac{m}{s^2}\right) \left [ 920\left( \frac{kg}{m^3}\right) \cdot 0,05(m) + 1000 \left(\frac{kg}{m^3}\right)\cdot (0,245(m)+ 0,005(m)) - 970\left(\frac{kg}{m^3}\right)\cdot 0,3 (m) \right] = 4,5 N. }\)
O jednym zadaniu z Hydrostatyki
-
korki_fizyka
- Użytkownik
- Posty: 656
- Rejestracja: 17 lut 2016, o 21:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 74 razy
Re: O jednym zadaniu z Hydrostatyki
Ano pojawiło się i to już trzykrotnie, więc chyba o jeden most (raz) za daleko? 
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: O jednym zadaniu z Hydrostatyki
Na forum pojawiło się zadanie o następującej treści
W naczyniu z wodą i warstwą oleju słonecznikowego zanurzono sześcian o krawędzi \(\displaystyle{ 0,3 m }\) wykonany z drewna bukowego. Górna powierzchnia sześcianu wystaje \(\displaystyle{ 0,005 m }\) ponad powuierzchnię oleju.
Proszę obliczyć:
a) jak głęboko jest zanurzony sześcian w wodzie?;
b) wartość siły wyporu, którą olej działa na sześcian;
c) ciężar ciała, które należałoby, położyć na górnej ścianie, aby nie wystawał ponad warstwę oleju.
Dane
\(\displaystyle{ a = 0,3 m }\)
\(\displaystyle{ a_{y} = 0,005 m }\)
\(\displaystyle{ g = 10 \frac{m}{s^2} }\)
Dodatkowo odczytujemy z tablicy
\(\displaystyle{ \rho_{w} = 1000 \frac{kg}{m^3} }\) -gęstość wody
\(\displaystyle{ \rho_{b} = 970 \frac{kg}{m^3} }\) - gęstość drewna bukowego
\(\displaystyle{ \rho_{o} = 920 \frac{kg}{m^3} }\) - gęstość oleju słonecznikowego
Obliczyć
a) \(\displaystyle{ h_{w} }\) - głębokość zanurzenia sześcianu w wodzie;
b) \(\displaystyle{ F_{w} }\) - wartość siły wyporu, którą olej działa na sześcian;
c) \(\displaystyle{ F_{s} }\) - ciężar ciała,które należałoby położyć na sześcian, aby nie wystawał ponad warstwę oleju.
Analiza zadania
W naczyniu z dolną warstwą wody i górną warstwą oleju \(\displaystyle{ \rho_{w}> \rho_{o} }\) zanurzony jest sześcian.
Przyjmujemy, wysokość zanurzenia sześcianu w wodzie \(\displaystyle{ h_{w}, }\) w oleju \(\displaystyle{ h_{o} }\)
Stąd wynika że suma wysokości \(\displaystyle{ h_{w}+ h_{o} + a_{y} = a }\) jest równa długości krawędzi sześcianu.
Rozwiązanie
a)
Układ sześcian- woda -olej słonecznikowy jest w równowadze, możemy więc zapisać równanie wektorowe wynikające z równowagi statycznej układu
\(\displaystyle{ \vec{F}_{g} + \vec{F}_{w} + \vec{F}_{o} = 0 }\)
Równanie skalarne rzutów sił na oś \(\displaystyle{ Oy}\)
\(\displaystyle{ F_{g} - F_{w} - F_{o} = 0 }\)
\(\displaystyle{ F_{g} = F_{w} + F_{o} }\)
Z II zasady dynamiki
\(\displaystyle{ m\cdot g = m_{w}\cdot g + m_{o}\cdot g | : g}\)
\(\displaystyle{ m = m_{w} + m_{o} \ \ (1)}\)
Masy: sześcianu wody, oleju obliczamy, wykorzystując wzór na gęstość \(\displaystyle{ \rho = \frac{m}{v} }\)
Objętość sześcianu
\(\displaystyle{ v_{s} = a^3 }\)
Objętość wody w naczyniu
\(\displaystyle{ v_{w} = a^2\cdot h_{w}; }\)
Objętość oleju w naczyniu
\(\displaystyle{ v_{o} = a^2\cdot h_{o}; }\)
Masa sześcianu
\(\displaystyle{ m = \rho_{b}\cdot v = \rho_{b} \cdot a^3 \ \ (2)}\)
Masa wody
\(\displaystyle{ m_{w} = \rho_{w}\cdot v_{w}= \rho a^2\cdot h_{w} \ \ (3) }\)
Masa oleju
\(\displaystyle{ m_{o} = \rho_{o}\cdot v_{o}= \rho a^2\cdot h_{o} \ \ (4)}\)
Podstawiamy równania \(\displaystyle{ (2), (3), (4) }\) do równania \(\displaystyle{ (1) }\)
\(\displaystyle{ \rho_{b}\cdot a^3 = \rho_{w}\cdot a^2\cdot h_{w}+ \rho_{o}\cdot a^2\cdot h_{o} }\)
Dzielimy równanie przez \(\displaystyle{ a^2 }\)
\(\displaystyle{ \rho_{b} \cdot a = \rho\cdot h_{w} + \rho_{o}\cdot h_{o} \ \ (5) }\)
Wysokość słupa oleju \(\displaystyle{ h_{o} }\) przedstawiamy jako różnicę wysokości
\(\displaystyle{ h_{o} = a - a_{y} - h_{w} \ \ (6) }\)
Podstawiamy \(\displaystyle{ (6) }\) do \(\displaystyle{ (5) }\)
\(\displaystyle{ \rho_{b} \cdot a = \rho_{w}\cdot h_{w} + \rho_{o}\cdot ( a - a_{y} - h_{w}) }\)
Z równania tego obliczamy wysokość słupa wody \(\displaystyle{ h_{w} }\)
\(\displaystyle{ \rho_{b} \cdot a = \rho_{w}\cdot h_{w} + \rho_{o}\cdot a -\rho_{o}\cdot a_{y} -\rho_{o}\cdot h_{w} }\)
\(\displaystyle{ \rho_{b}\cdot a - \rho_{o}\cdot a+\rho_{o}\cdot a_{y} = \rho_{w}\cdot h_{w} - \rho_{o}\cdot h_{w} }\)
\(\displaystyle{ a( \rho_{b} - \rho_{o}) + \rho_{o}\cdot a_{y} = h_{w}( \rho_{w} - \rho_{o}) }\)
\(\displaystyle{ h_{w} = \frac{a(\rho_{b} - \rho_{o}) +\rho_{o}\cdot a_{y}}{\rho_{w}- \rho_{o}} }\)
Podstawiając dane liczbowe otrzymujemy
\(\displaystyle{ h_{w} = \frac{0.3(m) \left[ 970\left(\frac{kg}{m^3}\right) - 920\left(\frac{kg}{m^3}\right) \right] + 920 \left(\frac{kg}{m^3}\right)\cdot 0,005(m)}{1000\left(\frac{kg}{m^3}\right) - 920 \left(\frac{kg}{m^3}\right )} = 0,245 m = 24, 5 cm. }\)
b)
Ze wzoru na siłę wyporu
\(\displaystyle{ F_{w} = \rho_{o}\cdot g \cdot v_{o} }\)
\(\displaystyle{ F_{w} = \rho_{o}\cdot g \cdot a^2 \cdot h_{o} }\)
\(\displaystyle{ F_{w} = \rho_{o}\cdot g \cdot( a - d - h_{w}) }\)
\(\displaystyle{ F_{w} = 920\left(\frac{kg}{m^3}\right) \cdot 10 \left(\frac{m}{s^2}\right)\cdot (0,3)^2(m^2) \cdot [0,3(m) -0,005(m)-0,245(m)] = 41, 4 N. }\)
c)
Po postawieniu na górną powierzchnię sześcianu ciała o ciężarze \(\displaystyle{ F_{s} }\) - jego głębokoąć w oleju nie zmieni się natomiast zmieni się wysokość zanurzenia \(\displaystyle{ h'_{w} }\) w wodzie o wartość \(\displaystyle{ a_{y} }\)- która wystawała ponad powierzchnię oleju
\(\displaystyle{ h'_{w} = h_{w} + a_{y} }\)
Objętość wypartej wody \(\displaystyle{ v_{w} = a^2(h_{w} + a_{y}). }\)
W tym przypadku otrzymujemy następujące równanie bilansu sił
\(\displaystyle{ F_{g} + F_{s} = F_{o} + F'_{w} }\)
\(\displaystyle{ F_{s} = F_{o} + F'_{w}- F_{g} }\)
\(\displaystyle{ F_{s} = m_{o}\cdot g +m'_{w}\cdot g - m\cdot g = (m_{o}+m'_{w}- m)\cdot g }\)
\(\displaystyle{ F_{s} = m_{o} + m'_{w} - m }\)
\(\displaystyle{ F_{s} = \rho_{o} \cdot v_{o} + \rho_{w}\cdot v'_{w} - \rho_{b}\cdot v)\cdot g }\)
\(\displaystyle{ F_{s} = \rho_{o}\cdot a^2\cdot h_{o} + \rho_{w}\cdot a^2\cdot(h_{w}+ a_{y}) - \rho_{b} a^3 )\cdot g }\)
\(\displaystyle{ F_{s} = a^2 \cdot g \cdot [\rho_{o}h_{o} + \rho_{w}\cdot( h_{w}+a_{y}) - \rho_{b}\cdot a] }\)
Po podstawieniu danych liczbowych:
\(\displaystyle{ F_{s} = (0,3)^2 (m^2) \cdot 10 \left(\frac{m}{s^2}\right) \left [ 920\left( \frac{kg}{m^3}\right) \cdot 0,05(m) + 1000 \left(\frac{kg}{m^3}\right)\cdot (0,245(m)+ 0,005(m)) - 970\left(\frac{kg}{m^3}\right)\cdot 0,3 (m) \right] = 4,5 N. }\)
W naczyniu z wodą i warstwą oleju słonecznikowego zanurzono sześcian o krawędzi \(\displaystyle{ 0,3 m }\) wykonany z drewna bukowego. Górna powierzchnia sześcianu wystaje \(\displaystyle{ 0,005 m }\) ponad powuierzchnię oleju.
Proszę obliczyć:
a) jak głęboko jest zanurzony sześcian w wodzie?;
b) wartość siły wyporu, którą olej działa na sześcian;
c) ciężar ciała, które należałoby, położyć na górnej ścianie, aby nie wystawał ponad warstwę oleju.
Dane
\(\displaystyle{ a = 0,3 m }\)
\(\displaystyle{ a_{y} = 0,005 m }\)
\(\displaystyle{ g = 10 \frac{m}{s^2} }\)
Dodatkowo odczytujemy z tablicy
\(\displaystyle{ \rho_{w} = 1000 \frac{kg}{m^3} }\) -gęstość wody
\(\displaystyle{ \rho_{b} = 970 \frac{kg}{m^3} }\) - gęstość drewna bukowego
\(\displaystyle{ \rho_{o} = 920 \frac{kg}{m^3} }\) - gęstość oleju słonecznikowego
Obliczyć
a) \(\displaystyle{ h_{w} }\) - głębokość zanurzenia sześcianu w wodzie;
b) \(\displaystyle{ F_{w} }\) - wartość siły wyporu, którą olej działa na sześcian;
c) \(\displaystyle{ F_{s} }\) - ciężar ciała,które należałoby położyć na sześcian, aby nie wystawał ponad warstwę oleju.
Analiza zadania
W naczyniu z dolną warstwą wody i górną warstwą oleju \(\displaystyle{ \rho_{w}> \rho_{o} }\) zanurzony jest sześcian.
Przyjmujemy, wysokość zanurzenia sześcianu w wodzie \(\displaystyle{ h_{w}, }\) w oleju \(\displaystyle{ h_{o} }\)
Stąd wynika że suma wysokości \(\displaystyle{ h_{w}+ h_{o} + a_{y} = a }\) jest równa długości krawędzi sześcianu.
Rozwiązanie
a)
Układ sześcian- woda -olej słonecznikowy jest w równowadze, możemy więc zapisać równanie wektorowe wynikające z równowagi statycznej układu
\(\displaystyle{ \vec{F}_{g} + \vec{F}_{w} + \vec{F}_{o} = 0 }\)
Równanie skalarne rzutów sił na oś \(\displaystyle{ Oy}\)
\(\displaystyle{ F_{g} - F_{w} - F_{o} = 0 }\)
\(\displaystyle{ F_{g} = F_{w} + F_{o} }\)
Z II zasady dynamiki
\(\displaystyle{ m\cdot g = m_{w}\cdot g + m_{o}\cdot g | : g}\)
\(\displaystyle{ m = m_{w} + m_{o} \ \ (1)}\)
Masy: sześcianu wody, oleju obliczamy, wykorzystując wzór na gęstość \(\displaystyle{ \rho = \frac{m}{v} }\)
Objętość sześcianu
\(\displaystyle{ v_{s} = a^3 }\)
Objętość wody w naczyniu
\(\displaystyle{ v_{w} = a^2\cdot h_{w}; }\)
Objętość oleju w naczyniu
\(\displaystyle{ v_{o} = a^2\cdot h_{o}; }\)
Masa sześcianu
\(\displaystyle{ m = \rho_{b}\cdot v = \rho_{b} \cdot a^3 \ \ (2)}\)
Masa wody
\(\displaystyle{ m_{w} = \rho_{w}\cdot v_{w}= \rho a^2\cdot h_{w} \ \ (3) }\)
Masa oleju
\(\displaystyle{ m_{o} = \rho_{o}\cdot v_{o}= \rho a^2\cdot h_{o} \ \ (4)}\)
Podstawiamy równania \(\displaystyle{ (2), (3), (4) }\) do równania \(\displaystyle{ (1) }\)
\(\displaystyle{ \rho_{b}\cdot a^3 = \rho_{w}\cdot a^2\cdot h_{w}+ \rho_{o}\cdot a^2\cdot h_{o} }\)
Dzielimy równanie przez \(\displaystyle{ a^2 }\)
\(\displaystyle{ \rho_{b} \cdot a = \rho\cdot h_{w} + \rho_{o}\cdot h_{o} \ \ (5) }\)
Wysokość słupa oleju \(\displaystyle{ h_{o} }\) przedstawiamy jako różnicę wysokości
\(\displaystyle{ h_{o} = a - a_{y} - h_{w} \ \ (6) }\)
Podstawiamy \(\displaystyle{ (6) }\) do \(\displaystyle{ (5) }\)
\(\displaystyle{ \rho_{b} \cdot a = \rho_{w}\cdot h_{w} + \rho_{o}\cdot ( a - a_{y} - h_{w}) }\)
Z równania tego obliczamy wysokość słupa wody \(\displaystyle{ h_{w} }\)
\(\displaystyle{ \rho_{b} \cdot a = \rho_{w}\cdot h_{w} + \rho_{o}\cdot a -\rho_{o}\cdot a_{y} -\rho_{o}\cdot h_{w} }\)
\(\displaystyle{ \rho_{b}\cdot a - \rho_{o}\cdot a+\rho_{o}\cdot a_{y} = \rho_{w}\cdot h_{w} - \rho_{o}\cdot h_{w} }\)
\(\displaystyle{ a( \rho_{b} - \rho_{o}) + \rho_{o}\cdot a_{y} = h_{w}( \rho_{w} - \rho_{o}) }\)
\(\displaystyle{ h_{w} = \frac{a(\rho_{b} - \rho_{o}) +\rho_{o}\cdot a_{y}}{\rho_{w}- \rho_{o}} }\)
Podstawiając dane liczbowe otrzymujemy
\(\displaystyle{ h_{w} = \frac{0.3(m) \left[ 970\left(\frac{kg}{m^3}\right) - 920\left(\frac{kg}{m^3}\right) \right] + 920 \left(\frac{kg}{m^3}\right)\cdot 0,005(m)}{1000\left(\frac{kg}{m^3}\right) - 920 \left(\frac{kg}{m^3}\right )} = 0,245 m = 24, 5 cm. }\)
b)
Ze wzoru na siłę wyporu
\(\displaystyle{ F_{w} = \rho_{o}\cdot g \cdot v_{o} }\)
\(\displaystyle{ F_{w} = \rho_{o}\cdot g \cdot a^2 \cdot h_{o} }\)
\(\displaystyle{ F_{w} = \rho_{o}\cdot g \cdot( a - d - h_{w}) }\)
\(\displaystyle{ F_{w} = 920\left(\frac{kg}{m^3}\right) \cdot 10 \left(\frac{m}{s^2}\right)\cdot (0,3)^2(m^2) \cdot [0,3(m) -0,005(m)-0,245(m)] = 41, 4 N. }\)
c)
Po postawieniu na górną powierzchnię sześcianu ciała o ciężarze \(\displaystyle{ F_{s} }\) - jego głębokoąć w oleju nie zmieni się natomiast zmieni się wysokość zanurzenia \(\displaystyle{ h'_{w} }\) w wodzie o wartość \(\displaystyle{ a_{y} }\)- która wystawała ponad powierzchnię oleju
\(\displaystyle{ h'_{w} = h_{w} + a_{y} }\)
Objętość wypartej wody \(\displaystyle{ v_{w} = a^2(h_{w} + a_{y}). }\)
W tym przypadku otrzymujemy następujące równanie bilansu sił
\(\displaystyle{ F_{g} + F_{s} = F_{o} + F'_{w} }\)
\(\displaystyle{ F_{s} = F_{o} + F'_{w}- F_{g} }\)
\(\displaystyle{ F_{s} = m_{o}\cdot g +m'_{w}\cdot g - m\cdot g = (m_{o}+m'_{w}- m)\cdot g }\)
\(\displaystyle{ F_{s} = m_{o} + m'_{w} - m }\)
\(\displaystyle{ F_{s} = \rho_{o} \cdot v_{o} + \rho_{w}\cdot v'_{w} - \rho_{b}\cdot v)\cdot g }\)
\(\displaystyle{ F_{s} = \rho_{o}\cdot a^2\cdot h_{o} + \rho_{w}\cdot a^2\cdot(h_{w}+ a_{y}) - \rho_{b} a^3 )\cdot g }\)
\(\displaystyle{ F_{s} = a^2 \cdot g \cdot [\rho_{o}h_{o} + \rho_{w}\cdot( h_{w}+a_{y}) - \rho_{b}\cdot a] }\)
Po podstawieniu danych liczbowych:
\(\displaystyle{ F_{s} = (0,3)^2 (m^2) \cdot 10 \left(\frac{m}{s^2}\right) \left [ 920\left( \frac{kg}{m^3}\right) \cdot 0,05(m) + 1000 \left(\frac{kg}{m^3}\right)\cdot (0,245(m)+ 0,005(m)) - 970\left(\frac{kg}{m^3}\right)\cdot 0,3 (m) \right] = 4,5 N. }\)