Narciarz wjeżdża w zaspę

[Niepokonana]

Witam
Proszę o pomoc. Narciarz zjeżdża "na krechę" (cokolwiek to znaczy) z górki o wysokości \(\displaystyle{ h=20\,m}\) i kącie nachylenia \(\displaystyle{ \alpha =15^\circ}\). Wjechał w zaspę w odległości \(\displaystyle{ s_{2}=75\,m}\) od podnóża górki. Współczynnik tarcia nart o śnieg wynosi \(\displaystyle{ f=0,15}\). Oblicz z jaką prędkości \(\displaystyle{ V_{k}=?}\) narciarz wjechał w zaspę.

Sprawa jest dosyć prosta, musimy znaleźć prędkość jaką osiągnął u podnóża górki i wiedząc, że siła wypadkowa to tylko tarcie, znaleźć przyśpieszenie. Potem ze wzoru bezczasowego wyliczyć prędkość końcową. To umiem.
Tylko jak znaleźć prędkość, którą osiągnął u podnóża górki? Tu trzeba jakoś wykorzystać zasadę zachowania energii, ale nie wiem jak.

[korki_fizyka]

Nigdy nie jeździłem na nartach, może górole spod Kasprowego wiedza? ale na mój prosty, ceperski rozum, to
energia kinetyczna takiego śmiałka u góry równa jest pracy przeciwko siłom tarcia na stoku oraz pod stokiem na torze poziomym, plus ta energia kinetyczna jaka mu jeszcze pozostała wjeżdżając w zaspę. Wzory znosz?

[Niepokonana]

Góralski ojcze chrzestny, nie czaję co Ty po góralsku napisałeś, ale wzory znam.
Ale jak on jest na szczycie górki, to ma tylko energię potencjalną, prawda? Bo prędkość początkowa jest zerowa.

[janusz47]

Energia potencjalną, którą uwzględniamy w układzie Narciatrz -Ziemia , bierze się nie stąd, że znajduje się on względem Ziemi na wysokości stoku \(\displaystyle{ h. }\)

Musimy ułożyć równania na zmianę energii mechanicznej tego układu.

\(\displaystyle{ \Delta E_{mech} = W_{zew.} = T_{1}\cdot s_{1}\cos(180^{o}) + T_{2}\cdot s_{2}\cos(180^{o}) }\)

\(\displaystyle{ \frac{m\cdot v^2}{2} - m\cdot g \cdot h = -m\cdot g\cdot f \cdot s_{1} - m\cdot g \cdot f \cdot s_{2} }\)

\(\displaystyle{ s_{1}= ..., \ \ s_{2} = ... }\)

\(\displaystyle{ v^2 = ...}\)

\(\displaystyle{ v = ...}\)

[Niepokonana]

Nie rozumiem, co to jest to \(\displaystyle{ V}\) czy to jest prędkość na dole, czy prędkość, jak już wjechał w zaspę... A poza tym przecież \(\displaystyle{ s_{2}}\) znamy, a \(\displaystyle{ s_{1}}\) liczy się z funkcji trygonometrycznych.

[janusz47]

\(\displaystyle{ v }\) - prędkość narciarza w momencie uderzenia w zaspę śnieżną.

\(\displaystyle{ E_{p} = W_{1} + W_{2} + E_{k} }\)

\(\displaystyle{ W_{1} }\) - praca, którą wykona narciarz na stoku przeciwko sile tarcia.

\(\displaystyle{ W_{2} }\) - praca przeciwko sile tarcia na poziomym odcinku.

\(\displaystyle{ m \cdot g \cdot h = F_{1}\cdot s_{1} + F_{2}\cdot s_{2} + \frac{mv^2}{2} }\)

\(\displaystyle{ m\cdot g \cdot h = m\cdot g \cdot f \cdot \cos(\alpha) \cdot \frac{h}{\sin(\alpha)} + m\cdot g \cdot f \cdot d + \frac{m\cdot v^2}{2}| : m}\)

\(\displaystyle{ g \cdot h = g \cdot f \cdot \cos(\alpha) \cdot \frac{h}{\sin(\alpha)} +g \cdot f \cdot d + \frac{v^2}{2} | \cdot 2 }\)

\(\displaystyle{ \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \ctg(\alpha) = \frac{1}{\tg(\alpha)} }\) - w szkole średniej zrezygnowano z funkcji kotangens.

\(\displaystyle{ v^2 = 2gh - \frac{2g \cdot f \cdot h}{\tg(\alpha)} - 2g\cdot f\cdot d }\)

\(\displaystyle{ v = \sqrt{2g\left ( h - \frac{f\cdot h}{\tg(\alpha)} - f\cdot d\right)} }\)

Proszę podstawić dane liczbowe i sprawdzić zgodność jednostki.

[Niepokonana]

Dziękuję. Wolałabym jednak, żeby mi to Pan wytłumaczył słowami.
Ale przecież funkcja cotangens jest, chociaż faktycznie na fizyce raczej tangensem się posługujemy, ale znamy obie te rzeczy.

[janusz47]

Zapisałem równanie na prawo zachowania energii mechanicznej

\(\displaystyle{ E_{p} = W_{1} + W_{2} + E_{k} \ \ (0) }\)

Skąd się wzięło równanie \(\displaystyle{ (0) }\)

Rozpatrujemy zasadę zachowania energii układu - "narciarz- Ziemia" na dwóch odcinkach drogi:

- szczyt górki - podnóże
- podnóże - zaspa śnieżna

szczyt górki - podnóże

\(\displaystyle{ E_{p1} + E_{k1} = E_{p2} + E_{k2} + W_{1}}\)

\(\displaystyle{ E_{p1} + 0 = 0 + E_{k2} + W_{1} }\)

\(\displaystyle{ E_{p1} = E_{k2} + W_{1} \ \ (1)}\)

podnóże - zaspa śnieżna

\(\displaystyle{ E_{p2} + E_{k2} = E_{p3} + E_{k} + W_{2} }\)

\(\displaystyle{ 0 + E_{k2} = 0 + E_{k} + W_{2} }\)

\(\displaystyle{ E_{k2} = E_{k} + W_{2} \ \ (2) }\)

Otrzymaliśmy układ równań \(\displaystyle{ (1), (2) }\)

Podstawiamy równanie \(\displaystyle{ (2) }\) do równania \(\displaystyle{ (1) }\)

\(\displaystyle{ E_{p1} = ( E_{k} +W_{2} ) + W_{1} }\) -

Skąd

\(\displaystyle{ E_{p1} = W_{1} + W_{2} + E_{k} \ \ (3) }\) otrzymaliśmy równanie \(\displaystyle{ (0) }\)

Podstawiamy do równania (3)

\(\displaystyle{ E_{p1} = mgh }\)

\(\displaystyle{ W_{1} = f\cdot F_{c}\cos(\alpha) \cdot s_{1} = f\cdot m\cdot g \cdot \cos(\alpha)\cdot \frac{h}{\sin(\alpha)} = f\cdot m \cdot g \cdot h\cdot \ctg(\alpha) }\)

\(\displaystyle{ W_{2} = f \cdot F_{c}\cdot s_{2} = f \cdot m\cdot g \cdot d }\)

\(\displaystyle{ E_{k} = \frac{m\cdot v^2}{2} }\)

gdzie \(\displaystyle{ v }\) - prędkość narciarza w momencie uderzenia w zaspę śnieżną

i wyznaczamy \(\displaystyle{ v. }\)