Równia pochyła bez tarcia (łatwe)

[Niepokonana]

Witam
Proszę o pomoc, to jest zadanie bardzo łatwe, tylko nie umiem.
Oblicz długość równi \(\displaystyle{ s=?}\) jeżeli ma wysokość \(\displaystyle{ h=0,072 m}\) i czas zjazdu z niej przez kostkę lodu wynosi \(\displaystyle{ t=2,25s}\).
Równia ta jest trójkątem prostokątnym i potrzebujemy jego przeciwprostokątnej, która jest drogą dla kostki lodu. Wypadałoby znaleźć sinus kąta nachylenia do równi (sam kąt jest niepotrzebny) i z tego wyliczyć przeciwprostokątną. Tylko jak?

[kerajs]

\(\displaystyle{ \begin{cases} mgh= \frac{mv^2}{2} \\ s= \frac{at^2}{2} \\ v=at \end{cases} \\
\begin{cases} v= \sqrt{2gh} \\ s= \frac{at^2}{2} \\ a= \frac{v}{t} \end{cases} \\
s= \frac{at^2}{2}= \frac{vt}{2}= \frac{t\sqrt{2gh} }{2} }\)

[Niepokonana]

Ma Pan na myśli prędkość końcową, prawda?

[janusz47]

Rysunek równi z lodem i zaznaczonymi wektorami sił . Siłą ciężkości \(\displaystyle{ m \cdot g }\) i jej składowymi - składową poziomą o wartości \(\displaystyle{ m\cdot g\sin(\alpha) }\) i składową prostopadłą do powierzchni równi o wartości \(\displaystyle{ m\cdot g\cos(\alpha). }\)

Sposób drugi (z wykorzystaniem równania drogi w ruchu jednostajnie przyśpieszonym z prędkością początkową równą zeru)

Na podstawie II zasady dynamiki

\(\displaystyle{ m\cdot a = m\cdot g \cdot \sin(\alpha) }\)

\(\displaystyle{ a = ? }\)

\(\displaystyle{ \sin(\alpha) = \frac{h}{s} }\)

\(\displaystyle{ s = \frac{a \cdot t^2}{2} }\)

\(\displaystyle{ s = ? }\)

odp: \(\displaystyle{ s = t\sqrt{\frac{g\cdot h}{2}} }\)

[Niepokonana]

Panie Januszu, nie mam pojęcia, co Pan napisał.

[janusz47]

Rozwiązanie

Na podstawie II zasady dynamiki

\(\displaystyle{ m\cdot a = m\cdot g \cdot \sin(\alpha) }\) (pomijamy tarcie)

\(\displaystyle{ a = g\cdot \sin(\alpha) }\)

\(\displaystyle{ \sin(\alpha) = \frac{h}{s} }\)

\(\displaystyle{ a = g\cdot \frac{h}{s} }\)


\(\displaystyle{ s = \frac{a \cdot t^2}{2} }\)

\(\displaystyle{ s = g \cdot \frac{h}{s} \cdot \frac{t^2}{2} | \cdot s }\)

\(\displaystyle{ s^2 = \frac{g\cdot h \cdot t^2}{2} }\)

\(\displaystyle{ s = t \cdot \sqrt{\frac{g\cdot h}{2}}.}\)

Podstawiamy dane liczbowe i sprawdzamy zgodność jednostki.

odp: \(\displaystyle{ s = t \cdot \sqrt{\frac{g\cdot h}{2}} =... }\)

[kerajs]

Ma Pan na myśli prędkość końcową, prawda?

Raczej tak, ale ponieważ do końca nie mogę być pewien co uważasz za prędkość końcową to doprecyzuję:
\(\displaystyle{ v}\) to prędkość kostki u podnóża równi ,czyli po czasie \(\displaystyle{ t=2,25s}\).

[Niepokonana]

No tak o taką prędkość mi chodzi, dziękuję bardzo.

[janusz47]

Opis ruchu zsuwającej się kostki lodu z góry nachylonej do poziomu pod kątem \(\displaystyle{ \alpha }\) z pomijalnie małym tarciem

Jakim ruchem porusza się kostka?

Rozpatrujemy siły działające na kostkę. Jest to ciężar kostki \(\displaystyle{ \vec{F}_{c} }\) i siła sprężystości podłoża \(\displaystyle{ \vec{F}_{s}, }\) będąca reakcją na siłę nacisku kostki \(\displaystyle{ \vec{N}. }\)

Na podstawie trzeciej zasady dynamiki Newtona, wartości tych sił są równe

\(\displaystyle{ F_{s} = N \ \ (1) }\)

Aby obliczyć wartość siły \(\displaystyle{ \vec{F}_{s} }\) (tym samym siły \(\displaystyle{ \vec{N} }\)), rozkładamy ciężar kostki na dwie siły składowe - siłę \(\displaystyle{ \vec{F}_{\perp} }\)- prostopadłą do stoku, powodującą nacisk kostki na stok oraz siłę \(\displaystyle{ \vec{F}_{\parallel} }\) - równoległą do stoku.

Kąt, jaki tworzy siła \(\displaystyle{ \vec{F}_{\perp} }\) z siłą \(\displaystyle{ \vec{F}_{c} }\) jest równy kątowi nachylenia stoku góry do poziomu (są to kąty o ramionach zgodnie prostopadłych).

Stąd obliczamy

\(\displaystyle{ \frac{F_{\perp}}{F_{c}} = \cos(\alpha), \ \ F_{\perp} = F_{c}\cdot \cos(\alpha), }\)

\(\displaystyle{ \frac{F_{\parallel}}{F_{c}} = \sin(\alpha), \ \ F_{\parallel} = F_{c}\cdot \sin(\alpha). }\)

Wartość siły \(\displaystyle{ \vec{N}, }\) którą kostka naciska na podłoże równa jest wartości siły \(\displaystyle{ \vec{F}_{\perp}, \ \ N = F_{\perp}, }\) ale
zgodnie z \(\displaystyle{ (1), N = F_{s}, }\) więc \(\displaystyle{ N = F_{\perp}. }\)

Pozostała niezrównoważona, stała siła - równoległa do stoku \(\displaystyle{ \vec{F}_{\parallel} }\). Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona siła ta nadaje kostce przyśpieszenie o wartości \(\displaystyle{ a = \frac{F_{\parallel}}{m} = \frac{m\cdot g\cdot \sin(\alpha)}{m} = g\cdot \sin(\alpha).}\)

Kostka lodu porusza się ruchem jednostajnie przyśpieszonym.

Stąd mogliśmy w rozwiązaniu zadania użyć wzoru na długość drogi \(\displaystyle{ s }\) w ruchu jednostajnie przyśpieszonym, zakładając, że prędkość początkowa kostki lodu jest równa zeru.

[Niepokonana]

To, że porusza się ruchem jednostajnie przyśpieszonym, to wiem.

[janusz47]

Skąd ?

[Niepokonana]

No bo to wiadomo, że jak się ześlizguje, to będzie przyśpieszać, a musi jednostajnie, bo niejednostajnego przyśpieszenia jeszcze nie mieliśmy.

[janusz47]

Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona, kostka lodu mogłaby się ześlizgiwać - ruchem jednostajnym prostoliniowym (" i nie przyśpieszać"), gdyby siły działające na nią równoważyły się (wypadkowa tych sił \(\displaystyle{ \vec{F} }\) była równa zeru). Jak napisałem na kostkę działa niezrównoważona siła \(\displaystyle{ \vec{F}_{\parallel} }\).
Z drugiej zasady dynamiki wynika, że ruch kostki jest ruchem jednostajnie przyśpieszonym.

[kruszewski]

Dodałbym: na kostkę działa niezrównoważona, ale stała w czasie ruchu, siła \(\displaystyle{ \vec{F}_{\parallel}}\).

A z drugiej zasady dynamiki wynika, że przy stałych w czasie ruchu: masie \(\displaystyle{ m}\) i sile \(\displaystyle{ F}\) na ną działającej przyspieszenie
\(\displaystyle{ a = \frac{F=const }{ m = const} = const.}\)

zatem ruch kostki jest ruchem jednostajnie przyspieszonym, bo z jednostajnym , czyli stałym w czasie, przyspieszeniem.

[Niepokonana]

Na kostkę działa siła ściągająca z równi \(\displaystyle{ F_{s}}\) nie \(\displaystyle{ F_{||}}\)
Wiem, że ona jedzie ruchem jednostajnie przyśpieszonym z prędkością początkową równą zero, to wiem. Co dalej?