Problem przy wyznaczeniu modułu Young'a metodą ugięcia

[mateomix99]

Witam. Bardzo prosiłbym o pomoc, gdyż gdzies albo cos ominalem albo robie nie tak i wychodza mi dziwne wartości. Spróbuje opisać swój problem dosyć obszernie, mam nadzieje, że to nie zniechęci i ktoś mimo wszystko spróbuje mi pomóc .

Wzór do obliczeń: \(\displaystyle{ E= \frac{ l^{3} }{4ah^{3} } \cdot \frac{F}{S} }\), gdzie pod \(\displaystyle{ \frac{F}{S}}\) podstawiamy odwrócony współczynnik kierunkowy prostej \(\displaystyle{ y=ax+b}\), to jest prosta wyznaczona poprzez regresję liniową wykresu \(\displaystyle{ S_{i}=f \left( P_{i} \right) }\).

Na podstawie pomiarów obliczyłem średnie wartości \(\displaystyle{ a,h}\),oraz \(\displaystyle{ l}\) oraz ich odchylenia standardowe, które traktuję jako ich niepewności.
I tutaj nie wiem, czy regresję liniową mam liczyć z \(\displaystyle{ b=0}\), czy normalnie, ale w excelu dla funkcji REGLINP, gdy \(\displaystyle{ b=0}\) otrzymałęm
\(\displaystyle{ wspA=0,000217839}\)
\(\displaystyle{ \Delta wspA = 1,27113\cdot 10^{-6}}\)

i podstawiajac wartosci do wzoru wyliczyłem \(\displaystyle{ E=70,68[GPa]}\), wychodzi więc w miare blisko, bo według wikipedii dla aluminium \(\displaystyle{ E=69[GPa]}\), a testowana belka była własnie z jakiegoś metalu.

Zostałoby więc wyliczyć niepewności i gotowe i tutaj mam największy problem. Nie wiem jak traktować współczynnik \(\displaystyle{ \frac{F}{S} }\), czy także brać to pod uwage w niepewności maksymalnej dla \(\displaystyle{ E}\)? I jak w ogóle ją obliczyć?

Próbowałem na 2 sposoby:
1) Licząc niepewnośc \(\displaystyle{ E}\), bez brania pod uwagę owego \(\displaystyle{ F/S}\) (odwróconego wspólczynnika kierunkowego prostej) i otrzymałem wzór(prosiłbym też o sprawdzenie go bo nie wiem czy dobrze go wyznaczyłem):
\(\displaystyle{ \Delta E= \left( \frac{3l^2}{4ah^3} \cdot \Delta l \right) + \left( \frac{l^3}{4a^2h^3} \cdot \Delta a \right) + \left( \frac{3l^3}{4ah^4} \cdot \Delta h \right)}\) po podstawieniu odchyleń standardowych i zmiennych otrzymuje gigantyczną wartośc, która chyba wyrażona jest w paskalach,a po zamianie na \(\displaystyle{ GPa}\) wynosi tylko \(\displaystyle{ 0,0031[GPa]}\), co wydaje sie abstrakcyjnie mało jak na niepewność \(\displaystyle{ E}\)
2) Licząc niepewność \(\displaystyle{ E}\) wraz z \(\displaystyle{ F/S}\) (nie wiem jak stworzyć wzór, bo najpierw według instrukcji powinienem odwrócić współczynnik kierunkowy prostej, który wyniesie około \(\displaystyle{ 4590}\) a póżniej pomnozyc przez niego lewa strone wzoru czyli \(\displaystyle{ E= \frac{ l^{3} }{4ah^{3} } \cdot 4590 }\), wiec wzor musialbym stworzyc dla \(\displaystyle{ E= \frac{ l^{3} }{4ah^{3} } \cdot \frac{1}{wspa} }\)) i wychodzi mi ???:


\(\displaystyle{ \Delta E= \left( \frac{3l^2}{4ah^3wspA} \cdot \Delta l \right) + \left( \frac{l^3}{4a^2h^3wspA} \cdot \Delta a \right) + \left( \frac{3l^3}{4ah^4wspA} \cdot \Delta h \right) +\left( \frac{l^3}{4ah^3wspA^2} \cdot \Delta wspA \right) }\) tutaj po podstaiweniu odchyleń, zmiennych i niepewnosci \(\displaystyle{ wspA}\) obliczonej przez funkcje REGLINP otrzymuje około \(\displaystyle{ 14[GPa]}\) co z kolei wydaje sie abstrakcyjnie wielką wartością.

Prosze o pomoc, podpowiedź jak obliczyć tą niepewność, jakiego wzoru użyć.

[StudentIB]

Na tego typu zajęciach laboratoryjnych moduł Younga liczy się zwykle z przekształconego wzoru na strzałkę ugięcia belki swobodnie podpartej obciążonej siłą na środku (zakładając 3-punktowe zginanie belki o przekroju prostokątnym):

\(\displaystyle{ E=\frac{FL^{3}}{4a h^{3}y}}\)

gdzie: \(\displaystyle{ F}\) - przyłożona siła, \(\displaystyle{ L}\) - długość belki, \(\displaystyle{ a}\) - szerokość przekroju, \(\displaystyle{ h}\) - wysokość przekroju, \(\displaystyle{ y}\) - wyznaczone ugięcie belki.

Wtedy błąd można wyznaczyć metodą różniczki logarytmicznej:

\(\displaystyle{ \Delta E=E \left(\frac{3 \Delta L}{L} + \frac{\Delta F}{F} + \frac{\Delta y}{y} + \frac{\Delta a}{a} + \frac{3 \Delta h}{h} \right)}\)

Źródła: "Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki" Szuba oraz

Kod: Zaznacz cały

http://www.zfian.imif.uph.edu.pl/images/pliki_pdf/Fizyka_I/mechanika/CWICZ_04.pdf

[mateomix99]

Wlasnie w tym cwiczeniu jest napisane ze nalezy skorzystac z przeksztalconego wzsoru na modul younga - tego ktory podalem wyzej a zamiast liczyc \(\displaystyle{ F/S}\)(u ciebie \(\displaystyle{ F/y}\)), gdzie \(\displaystyle{ F}\) - sila a \(\displaystyle{ S}\)- strzalka ugiecia to nalezy zrobic wykres punktowy wartosci \(\displaystyle{ F}\) i \(\displaystyle{ S}\), obliczyc prostą programem komputerowym i wspolczynnik \(\displaystyle{ F/S}\) traktowac jako odwrotnosc wspolczynnika kierunkowego prostej \(\displaystyle{ y=ax+b}\). Jak to mialoby wygladac dla tego przypadku?
Chyba powinno to wyglądać następująco?:
\(\displaystyle{ E= \frac{l^3}{4ah^3} \cdot \frac{1}{A} =\frac{l^3}{4ah^3A} }\)
\(\displaystyle{ l}\) - dlugosc belki, \(\displaystyle{ a}\) - szerokosc przekroju, \(\displaystyle{ h}\) - wysokosc przekroju, \(\displaystyle{ A}\) - współczynnik \(\displaystyle{ A}\) prostej

I wtedy również jest to dobry wzór na E, bo wychodzi tyle samo

\(\displaystyle{ \Delta E=E \left( \frac{3\Delta l}{l}+ \frac{\Delta a}{a} + \frac{3\Delta h}{h}+ \frac{\Delta A}{A} \right) }\)

po podłozeniu wychodzi mi wartośc \(\displaystyle{ \Delta E=14,7[GPa]}\) czyli znów bardzo duzo
\(\displaystyle{ \Delta a,h,l}\) to odchylenia standardowe, zgadza sie?
zauwazylem ze glowny wplyw na niepewnosc ma \(\displaystyle{ \frac{3\Delta h}{h} }\) bo po usunieciu jego niepewnosc wynosi \(\displaystyle{ 2[GPa]}\)

[kruszewski]

Ten wzór :
\(\displaystyle{ \displaystyle{ E= \frac{l^3}{4ah^3} \cdot \frac{1}{A} =\frac{l^3}{4ah^3A} }}\)

napisałbym tak: \(\displaystyle{ E = B \cdot \frac{F}{y}}\) , gdzie \(\displaystyle{ B= \frac{l^3}{4ah^3} =}\) constans
stąd \(\displaystyle{ \Delta B = }\) constans ; natomiast pomiary siły \(\displaystyle{ F}\) i ugięcia belki \(\displaystyle{ y}\) obarczone są każdorazowo różnymi niezależnymi błędami.

[mateomix99]

Niepewność którą wyliczyłem wychodzi tak samo dla jej wyznaczenia za pomocą rózniczki logarytmicznej jak i za pomocą rózniczki zupełnej, wiec wzor jest dobry. Zauwazylem ze bardzo duzy wplyw na tak duża niepewnosc (\(\displaystyle{ 14,7[GPa]}\) przy wyniku \(\displaystyle{ 70[GPa]}\)) ma po prostu dokladnosc pomiarów \(\displaystyle{ a}\),\(\displaystyle{ h}\) belki - bo podczas cwiczenia dostepny byl jedynie zwijany metr tasmowy ktory ma dokladnosc do \(\displaystyle{ 1mm}\), a tutaj zmiana nawet o \(\displaystyle{ 0.1}\)-\(\displaystyle{ 0.2mm}\) ma duzy wplyw na odchylenie standardowe co za tym idzie na calkowita niepewnosc dla \(\displaystyle{ E}\). Juz nic z tym nie zrobie, takie byly urzadzenia do pomiaru w cwiczeniu, po prostu zaznacze to przy sprawozdaniu.

[kruszewski]

Takie wyniki jakie instrumenty
Jeżeli do wzóru \(\displaystyle{ E = B \cdot \frac{F}{y}}\) podstawić równanie kierunkowe ugięcia belki w postaci \(\displaystyle{ y = m \cdot F + b}\), gdzie \(\displaystyle{ b= 0}\), bo dla \(\displaystyle{ F=0}\) ugięcie \(\displaystyle{ y =0}\); to pierwszy tu wzór będzie miał postać:
\(\displaystyle{ E= B \cdot \frac{F}{m \cdot F} = B \cdot \frac{1}{m} = B \cdot m^{-1} }\)


Czyżby o takie przekształcenie chodziło?