Rower z dużymi i małymi kołami

Mechanika płynów. Sprężystość. Grawitacja. Inne zagadnienia mechaniki klasycznej.
matemix
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 465
Rejestracja: 10 cze 2008, o 19:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1 raz

Rower z dużymi i małymi kołami

Post autor: matemix »

Załóżmy, że mamy dwa takie same rowery, tyle, że jeden ma większe koła, zaś drugi mniejsze. Powiedzmy 26 cali oraz 29 cali. Jakich różnic możemy się spodziewać?

Czy którymś łatwiej będzie przyspieszać? Czy któryś będzie szybszy przy dokładnie takiej samej sile przykładanej na pedały na płaskiej drodze?

Wiadomo, że na nierównościach większe koła będą miały mniejsze opory toczenia - więc powinny być szybsze. Podobnie na grząskim gruncie, mają większą powierzchnię styku, więc powinny się sprawdzać lepiej. Jednocześnie większy rower będzie mniej zwrotny i trudniejszy do prowadzenia w małych zakrętach. Ale to niuanse, najbardziej chodzi mi o przyspieszanie i prędkość, przy takich samych przykładanych siłach. Próbuję coś kombinować z momentem siły, ale nie wiem jak się do tego zabrać.

Wychodzi mi, że większe koła trudniej rozpędzić, bo mamy większe ramię przyłożenia siły, jednocześnie ze względu na większy moment bezwładności łatwiej podtrzymywać prędkość, przy mniejszym nakładzie siły. Dobrze mi się wydaje?
korki_fizyka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 656
Rejestracja: 17 lut 2016, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 74 razy

Re: Rower z dużymi i małymi kołami

Post autor: korki_fizyka »

Nigdy nie jeździłem rowerem ale wydaje mi się, że wszystko zależy od przerzutki.
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Re: Rower z dużymi i małymi kołami

Post autor: kruszewski »

Od przerzutki i młynu w nogach.
Łatwiej jest wyjść z koła na ostanich metrach przed kreską, jeżeli łańcuch jest o ząbek wyżej niż u prowadzącego.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Rower z dużymi i małymi kołami

Post autor: Janusz Tracz »

Można by spróbować zamodelować ten układ. Niech zatem
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}[x=0.75pt,y=0.75pt,yscale=-1,xscale=1]
%uncomment if require: \path (0,300); %set diagram left start at 0, and has height of 300

%Shape: Axis 2D [id:dp35950498004235576]
\draw (120,178.52) -- (500,178.52)(168.9,31.19) -- (168.9,211.19) (493,173.52) -- (500,178.52) -- (493,183.52) (163.9,38.19) -- (168.9,31.19) -- (173.9,38.19) ;
%Shape: Circle [id:dp1598186315344272]
\draw (143.9,178.52) .. controls (143.9,164.71) and (155.09,153.52) .. (168.9,153.52) .. controls (182.71,153.52) and (193.9,164.71) .. (193.9,178.52) .. controls (193.9,192.33) and (182.71,203.52) .. (168.9,203.52) .. controls (155.09,203.52) and (143.9,192.33) .. (143.9,178.52) -- cycle ;
%Shape: Circle [id:dp055437406840056935]
\draw (340,180) .. controls (340,168.95) and (348.95,160) .. (360,160) .. controls (371.05,160) and (380,168.95) .. (380,180) .. controls (380,191.05) and (371.05,200) .. (360,200) .. controls (348.95,200) and (340,191.05) .. (340,180) -- cycle ;
%Shape: Circle [id:dp7415694229494616]
\draw (290,180) .. controls (290,141.34) and (321.34,110) .. (360,110) .. controls (398.66,110) and (430,141.34) .. (430,180) .. controls (430,218.66) and (398.66,250) .. (360,250) .. controls (321.34,250) and (290,218.66) .. (290,180) -- cycle ;
%Straight Lines [id:da9806435666389433]
\draw (168.9,153.52) -- (360,160) ;


%Straight Lines [id:da035430635314692704]
\draw (168.9,203.52) -- (360,200) ;


%Straight Lines [id:da22538582186259992]
\draw (110,110) -- (168.9,178.52) ;


%Straight Lines [id:da5260494401267348]
\draw (110,110) -- (110,148) ;
\draw [shift={(110,150)}, rotate = 270] [color={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 } ][line width=0.75] (10.93,-3.29) .. controls (6.95,-1.4) and (3.31,-0.3) .. (0,0) .. controls (3.31,0.3) and (6.95,1.4) .. (10.93,3.29) ;

%Curve Lines [id:da960882140799149]
\draw (170,100.67) .. controls (147.82,102.77) and (136.8,110.05) .. (128.86,128.74) ;
\draw [shift={(128.13,130.51)}, rotate = 291.8] [fill={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 } ][line width=0.75] [draw opacity=0] (10.72,-5.15) -- (0,0) -- (10.72,5.15) -- (7.12,0) -- cycle ;

%Straight Lines [id:da6306741818269563]
\draw (359.8,178.17) -- (391.55,239.4) ;
\draw [shift={(392.47,241.17)}, rotate = 242.59] [color={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 } ][line width=0.75] (10.93,-3.29) .. controls (6.95,-1.4) and (3.31,-0.3) .. (0,0) .. controls (3.31,0.3) and (6.95,1.4) .. (10.93,3.29) ;

%Straight Lines [id:da5675059948512187]
\draw (359.8,178.17) -- (375.59,191.23) ;
\draw [shift={(377.13,192.51)}, rotate = 219.59] [color={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 } ][line width=0.75] (10.93,-3.29) .. controls (6.95,-1.4) and (3.31,-0.3) .. (0,0) .. controls (3.31,0.3) and (6.95,1.4) .. (10.93,3.29) ;

%Straight Lines [id:da9155630345814079]
\draw (168.9,178.52) -- (153.15,195.7) ;
\draw [shift={(151.8,197.17)}, rotate = 312.51] [color={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 } ][line width=0.75] (10.93,-3.29) .. controls (6.95,-1.4) and (3.31,-0.3) .. (0,0) .. controls (3.31,0.3) and (6.95,1.4) .. (10.93,3.29) ;

%Curve Lines [id:da10889899352528931]
\draw (335.27,101.35) .. controls (313.09,103.45) and (298.81,117.15) .. (290.67,136.23) ;
\draw [shift={(289.93,138.01)}, rotate = 291.8] [fill={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 } ][line width=0.75] [draw opacity=0] (10.72,-5.15) -- (0,0) -- (10.72,5.15) -- (7.12,0) -- cycle ;

%Curve Lines [id:da6359363901478918]
\draw (135.27,186.01) .. controls (128.19,201.45) and (140.98,218.13) .. (158.06,216.89) ;
\draw [shift={(159.93,216.68)}, rotate = 531.5699999999999] [fill={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 } ][line width=0.75] [draw opacity=0] (10.72,-5.15) -- (0,0) -- (10.72,5.15) -- (7.12,0) -- cycle ;

%Curve Lines [id:da8295911147551149]
\draw [dash pattern={on 4.5pt off 4.5pt}] (135.93,136.68) .. controls (149.2,105.03) and (188.6,127.35) .. (207.27,88.68) ;


%Curve Lines [id:da034972741683483966]
\draw [dash pattern={on 4.5pt off 4.5pt}] (168.9,153.52) .. controls (182.17,121.87) and (231.27,138.68) .. (241.93,90.01) ;


%Curve Lines [id:da03544863254699582]
\draw [dash pattern={on 4.5pt off 4.5pt}] (360,160) .. controls (382.6,102.01) and (409.93,166.01) .. (426.6,86.68) ;


%Curve Lines [id:da8257195852594381]
\draw [dash pattern={on 4.5pt off 4.5pt}] (356.9,111.52) .. controls (366.6,90.01) and (377.93,117.35) .. (395.27,84.68) ;



% Text Node
\draw (94.33,124) node {$F( t)$};
% Text Node
\draw (187,40) node {$y$};
% Text Node
\draw (497,200) node {$x$};
% Text Node
\draw (142.17,95.33) node {$\phi $};
% Text Node
\draw (148,202.5) node {$r_{1}$};
% Text Node
\draw (386.33,196.17) node {$r_{3}$};
% Text Node
\draw (148.67,137.5) node {$r_{2}$};
% Text Node
\draw (399.33,246.5) node {$r_{4}$};
% Text Node
\draw (278.83,104) node {$\omega _{3} =\omega _{4}$};
% Text Node
\draw (131.5,227.33) node {$\dot{\phi } =\omega _{1} =\omega _{2}$};
% Text Node
\draw (218.83,77.33) node {$m_{2}$};
% Text Node
\draw (246.17,80) node {$m_{1}$};
% Text Node
\draw (395.5,76) node {$m_{4}$};
% Text Node
\draw (429.5,77.33) node {$m_{3}$};


\end{tikzpicture}}\)
Gdzie:
\(\displaystyle{ \phi}\) zmiana uogólniona, droga kątowa korby.
\(\displaystyle{ \omega_i}\) to prędkość kątowa \(\displaystyle{ i}\) tego elementu.
\(\displaystyle{ r_1}\) przednia przerzutka
\(\displaystyle{ r_2}\) długość korby
\(\displaystyle{ r_3}\) tylna przerzutka
\(\displaystyle{ r_4}\) promień koła
\(\displaystyle{ m_i}\) masa \(\displaystyle{ i}\) tego elementu
\(\displaystyle{ F(t)}\) funkcja siły z jaką naciskamy na pedał.
\(\displaystyle{ Q(t)}\) funkcja siły uogólnionej.

Energia potencjalna układu jest stale równa \(\displaystyle{ 0}\) w układzie nie ma mas zmieniających wysokość czy sprężyn więc nie magazynujemy energii. Energia kinetyczna natomiast to:

\(\displaystyle{ E_k=E_{\text{ r. obrotowego } 1}+E_{\text{ r. obrotowego } 2}+E_{\text{ r. obrotowego } 3}+E_{\text{ r. obrotowego } 4}+E_{\text{ r. postępowego}}}\)

Policzmy po kolei:
\(\displaystyle{ E_{\text{ r. obrotowego } 1}= \frac{1}{2}I_1\omega_1^2}\)
jako, że wyrażamy energię w funkcji zmiennej uogólnionej to \(\displaystyle{ \omega_1=\dot{\phi}}\). Natomiast podanie dokładne wartości \(\displaystyle{ I_1}\) jest bardzo trudne dla koła zębatego więc można przybliżyć je momentem bezwładności dla dysku. Jednak w obliczeniach nie będę podstawiał dokładnego wyniki i zostawię \(\displaystyle{ I_1}\). Zatem:
\(\displaystyle{ \boxed{E_{\text{ r. obrotowego } 1}= \frac{1}{2}I_1\dot{\phi}^2}}\)
Teraz \(\displaystyle{ E_{\text{ r. obrotowego } 2}}\) które można policzyć z tw. Königa lub po prostu ze wzoru na energię ruchu oborowego przyjmując moment bezwładności nie względem środka ciężkości a względem osi obrotu wtedy \(\displaystyle{ I_2= \frac{1}{3}m_2r_2^2}\) tak czy inaczej:
\(\displaystyle{ \boxed{E_{\text{ r. obrotowego } 2}= \frac{1}{2}I_2\dot{\phi}^2}}\)
By teraz policzyć \(\displaystyle{ E_{\text{ r. obrotowego } 3} \frac{1}{2}I_3\omega_3^2}\) należy policzyć \(\displaystyle{ \omega_3}\) a to można łatwo policzyć zakładając brak poślizgu łańcucha (wszak łańcuch mało się ślizga) więc drogi i prędkości na przerzutkach są sobie równe stąd \(\displaystyle{ \dot{\phi}r_1=\omega_3r_3}\) zatem \(\displaystyle{ \omega_3= \frac{r_1}{r_3}\dot{\phi}}\) czyli:
\(\displaystyle{ \boxed{E_{\text{ r. obrotowego } 3}= \frac{1}{2}I_3\left( \frac{r_1}{r_3}\dot{\phi}\right) ^2}}\)
No i na tej samej zasadzie:
\(\displaystyle{ \boxed{E_{\text{ r. obrotowego } 4}= \frac{1}{2}I_4\left( \frac{r_1}{r_3}\dot{\phi}\right) ^2}}\)
Zatem energia kinetyczna układu to:
\(\displaystyle{ E_k=\dot{\phi}^2 \cdot \frac{I_1+I_2+I_3\left( \frac{r_1}{r_3}\right) ^2+I_4\left( \frac{r_1}{r_3}\right) ^2}{2}+E_{\text{ r. postępowego}}}\)
\(\displaystyle{ E_k=\dot{\phi}^2 \cdot \frac{I_1+I_2+I_3\left( \frac{r_1}{r_3}\right) ^2+I_4\left( \frac{r_1}{r_3}\right) ^2}{2}+\frac{1}{2}m_{\text{ roweru i kolarza }}\left( \frac{r_1}{r_3}\dot{\phi}\right)^2r_4^2}\)
uściślenie modelu:    
Kładąc energię do równania Lagrange'a (minimalizujemy funkcjonał akcji za pomocą równania Eulera) dostajemy:

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}t}\left( \frac{ \partial E_k}{ \partial \dot{\phi}} \right)- \frac{ \partial E_k}{ \partial \phi}+ \frac{ \partial E_p}{ \partial \phi} =Q(t)}\)

co po podstawianiu daje:

\(\displaystyle{ \ddot{\phi} \cdot \left( I_1+I_2+I_3\left( \frac{r_1}{r_3}\right) ^2+I_4\left( \frac{r_1}{r_3}\right) ^2+m_{\text{ roweru i kolarza }}\left( \frac{r_1}{r_3}\right)^2r_4^2\right)=Q(t)}\)

Teraz trzeba wyznaczyć \(\displaystyle{ Q(t)}\) czyli siłę uogólnioną. Można to zrobić za pomocą równania prac przygotowanych:

\(\displaystyle{ Q(t) \cdot \delta \phi =\left[0,-F(t) \right]\circ \delta \vec{r}=-F(t) \cdot \delta y = -F(t) \cdot (-r_2\sin \phi)\delta \phi}\)

Zatem ostatecznie dla tak przyjętego modelu (o ile się nie pomyliłem) równania ruchu ma postać:
\(\displaystyle{ \boxed{\ddot{\phi} \cdot \left( I_1+I_2+I_3\left( \frac{r_1}{r_3}\right) ^2+I_4\left( \frac{r_1}{r_3}\right) ^2+m_{\text{ roweru i kolarza }}\left( \frac{r_1}{r_3}\right)^2r_4^2\right)=F(t)r_2\sin \phi}}\)
Można to całkować numerycznie przy zadanej funkcji siły \(\displaystyle{ F(t)}\) powinno to odpowiadać rozpędzaniu się roweru. Jest to równanie dynamiki więc siłą rzeczy wyraża ono zależność przyspieszeń (no chyba, że się to całkuje ale w tym przypadku nie da się inaczej niż numerycznie).
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Re: Rower z dużymi i małymi kołami

Post autor: kruszewski »

A co z pracą na deformacje sprężyste ramy rowera i nie koniecznie tylko na nierównościach nawierzchni ale w zależności od siły przykładanej do korby i kąta korby, (mierzonego np. od pionowej)? Proszę pamiętać, że siła naciskania zależy od tego kąta a ten od kąta zgięcia stawu kolanowego, a od niego siła "pod nogą"
Inne ramy mają rowery do jazdy "na czas", roweryna wyścigi torowe a jeszcze inne do jazdy szosowej długodystansowej.
Jest "rower szybki, twardy" i jest też "miękki". Te twarde, to czasówki.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Rower z dużymi i małymi kołami

Post autor: Janusz Tracz »

A co z pracą na deformacje sprężyste ramy rowera
Ten model tego nie uwzględnia i nie ma w tym nic złego bo na tym polega modelowanie. Model fizyczny nie musi zakładać wszystkiego inaczej nie byli byśmy w stanie napisać równań w skończonym czasie bo zawsze można rozpatrzeć coś jeszcze. Uznałem, że "inne rzeczy" (odkształcenia sprężyste, tarcie, nagrzewanie się łożysk itd.) pomijamy. To czy moje założenia jest słuszne czy nie rozstrzygnął by eksperyment walidujący model.
Proszę pamiętać, że siła naciskania zależy od tego kąta a ten od kąta zgięcia stawu kolanowego, a od niego siła "pod nogą"
To też jest kwestia dokładności modelu można zatem rozpatrywać nie \(\displaystyle{ F(t)}\) a \(\displaystyle{ F(t,\phi)}\) tylko czy jesteśmy w stanie ją wyznaczyć teoretycznie? Wątpię by można było nieeksperymentalnie dobrać takie funkcje (tak by jednocześnie odpowiadało to rzeczywistości). Można iść jeszcze głębiej i napisać \(\displaystyle{ F}\) jako funkcję czasu, kąta wychylenia korby, kąta ugięcia kolana, kąta położenia pedału na który naciskamy (wszak pedał może się obracać więc siła nie zawsze działa pionowo co założyłem dla uproszczenia). Tylko pojawia się kwestia czy jesteśmy w stanie zrobić coś sensownego z tymi informacjami czy tylko zapisać \(\displaystyle{ F}\) jako funkcję większej ilości zmiennych.

Jako uszczegółowienie można dodatkowo rozpatrzeć energię obrotową przedniego koła i siłę tarcia zależną od nacisku pomiędzy oponami a podłożem. Można też roztwarzać oporu ruchu ruchu związane z prędkością i powierzchnią oraz straty w łożyskach. Zbiorczy opory i straty opisać można funkcją dyssypacji energii \(\displaystyle{ D(\dot{\phi})}\). Wtedy w równaniu Lagrange'a pojawi się dodatkowy człon zawiązany ze stratami energii tj. \(\displaystyle{ \frac{ \partial D(\dot{\phi})}{ \partial \dot{\phi}}}\) oraz zmieni się siła uogólniona \(\displaystyle{ Q}\) na siłę zależną od \(\displaystyle{ F}\) oraz tarcia \(\displaystyle{ T}\).

Wtedy taki opis będzie odpowiadał rysunkowi:
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}[x=0.75pt,y=0.75pt,yscale=-0.85,xscale=0.85]
%uncomment if require: \path (0,300); %set diagram left start at 0, and has height of 300

%Shape: Axis 2D [id:dp35950498004235576]
\draw (214,185.52) -- (594,185.52)(262.9,38.19) -- (262.9,218.19) (587,180.52) -- (594,185.52) -- (587,190.52) (257.9,45.19) -- (262.9,38.19) -- (267.9,45.19) ;
%Shape: Circle [id:dp1598186315344272]
\draw (237.9,185.52) .. controls (237.9,171.71) and (249.09,160.52) .. (262.9,160.52) .. controls (276.71,160.52) and (287.9,171.71) .. (287.9,185.52) .. controls (287.9,199.33) and (276.71,210.52) .. (262.9,210.52) .. controls (249.09,210.52) and (237.9,199.33) .. (237.9,185.52) -- cycle ;
%Shape: Circle [id:dp055437406840056935]
\draw (434,187) .. controls (434,175.95) and (442.95,167) .. (454,167) .. controls (465.05,167) and (474,175.95) .. (474,187) .. controls (474,198.05) and (465.05,207) .. (454,207) .. controls (442.95,207) and (434,198.05) .. (434,187) -- cycle ;
%Shape: Circle [id:dp7415694229494616]
\draw (384,187) .. controls (384,148.34) and (415.34,117) .. (454,117) .. controls (492.66,117) and (524,148.34) .. (524,187) .. controls (524,225.66) and (492.66,257) .. (454,257) .. controls (415.34,257) and (384,225.66) .. (384,187) -- cycle ;
%Straight Lines [id:da9806435666389433]
\draw (262.9,160.52) -- (454,167) ;


%Straight Lines [id:da035430635314692704]
\draw (262.9,210.52) -- (454,207) ;


%Straight Lines [id:da22538582186259992]
\draw (204,117) -- (262.9,185.52) ;


%Straight Lines [id:da5260494401267348]
\draw (204,117) -- (204,155) ;
\draw [shift={(204,157)}, rotate = 270] [color={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 } ][line width=0.75] (10.93,-3.29) .. controls (6.95,-1.4) and (3.31,-0.3) .. (0,0) .. controls (3.31,0.3) and (6.95,1.4) .. (10.93,3.29) ;

%Curve Lines [id:da960882140799149]
\draw (264,107.67) .. controls (241.82,109.77) and (230.8,117.05) .. (222.86,135.74) ;
\draw [shift={(222.13,137.51)}, rotate = 291.8] [fill={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 } ][line width=0.75] [draw opacity=0] (10.72,-5.15) -- (0,0) -- (10.72,5.15) -- (7.12,0) -- cycle ;

%Straight Lines [id:da6306741818269563]
\draw (453.8,185.17) -- (485.55,246.4) ;
\draw [shift={(486.47,248.17)}, rotate = 242.59] [color={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 } ][line width=0.75] (10.93,-3.29) .. controls (6.95,-1.4) and (3.31,-0.3) .. (0,0) .. controls (3.31,0.3) and (6.95,1.4) .. (10.93,3.29) ;

%Straight Lines [id:da5675059948512187]
\draw (453.8,185.17) -- (469.59,198.23) ;
\draw [shift={(471.13,199.51)}, rotate = 219.59] [color={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 } ][line width=0.75] (10.93,-3.29) .. controls (6.95,-1.4) and (3.31,-0.3) .. (0,0) .. controls (3.31,0.3) and (6.95,1.4) .. (10.93,3.29) ;

%Straight Lines [id:da9155630345814079]
\draw (262.9,185.52) -- (247.15,202.7) ;
\draw [shift={(245.8,204.17)}, rotate = 312.51] [color={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 } ][line width=0.75] (10.93,-3.29) .. controls (6.95,-1.4) and (3.31,-0.3) .. (0,0) .. controls (3.31,0.3) and (6.95,1.4) .. (10.93,3.29) ;

%Curve Lines [id:da10889899352528931]
\draw (438.9,104.52) .. controls (416.72,106.63) and (398.99,117.82) .. (390.65,136.74) ;
\draw [shift={(389.9,138.52)}, rotate = 291.8] [fill={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 } ][line width=0.75] [draw opacity=0] (10.72,-5.15) -- (0,0) -- (10.72,5.15) -- (7.12,0) -- cycle ;

%Curve Lines [id:da6359363901478918]
\draw (229.27,193.01) .. controls (222.19,208.45) and (234.98,225.13) .. (252.06,223.89) ;
\draw [shift={(253.93,223.68)}, rotate = 531.5699999999999] [fill={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 } ][line width=0.75] [draw opacity=0] (10.72,-5.15) -- (0,0) -- (10.72,5.15) -- (7.12,0) -- cycle ;

%Curve Lines [id:da8295911147551149]
\draw [dash pattern={on 4.5pt off 4.5pt}] (229.93,144.68) .. controls (243.2,113.03) and (262.23,162.19) .. (280.9,123.52) ;


%Curve Lines [id:da034972741683483966]
\draw [dash pattern={on 4.5pt off 4.5pt}] (262.9,160.52) .. controls (276.17,128.87) and (295.23,180.19) .. (305.9,131.52) ;


%Curve Lines [id:da03544863254699582]
\draw [dash pattern={on 4.5pt off 4.5pt}] (454,167) .. controls (476.6,109.01) and (503.93,173.01) .. (520.6,93.68) ;


%Curve Lines [id:da8257195852594381]
\draw [dash pattern={on 4.5pt off 4.5pt}] (450.9,118.52) .. controls (460.6,97.01) and (471.93,124.35) .. (489.27,91.68) ;


%Shape: Rectangle [id:dp22609974098789554]
\draw [pattern=_kapesnc4t,pattern size=6pt,pattern thickness=0.75pt,pattern radius=0pt, pattern color={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0}] (301.4,94.02) -- (222.5,94.02) -- (222.5,49.02) -- (301.4,49.02) -- cycle ;
%Straight Lines [id:da6856271747440954]
\draw (261.95,71.52) -- (166.9,70.54) ;
\draw [shift={(164.9,70.52)}, rotate = 360.59000000000003] [color={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 } ][line width=0.75] (10.93,-3.29) .. controls (6.95,-1.4) and (3.31,-0.3) .. (0,0) .. controls (3.31,0.3) and (6.95,1.4) .. (10.93,3.29) ;

%Curve Lines [id:da08493066156703666]
\draw [dash pattern={on 4.5pt off 4.5pt}] (289.93,60.68) .. controls (303.2,29.03) and (310.23,78.19) .. (328.9,39.52) ;


%Straight Lines [id:da6370219149590983]
\draw (303.95,70.52) -- (352.9,70.25) ;
\draw [shift={(354.9,70.24)}, rotate = 539.69] [color={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 } ][line width=0.75] (10.93,-3.29) .. controls (6.95,-1.4) and (3.31,-0.3) .. (0,0) .. controls (3.31,0.3) and (6.95,1.4) .. (10.93,3.29) ;

%Shape: Circle [id:dp5299571143057493]
\draw (46,185) .. controls (46,146.34) and (77.34,115) .. (116,115) .. controls (154.66,115) and (186,146.34) .. (186,185) .. controls (186,223.66) and (154.66,255) .. (116,255) .. controls (77.34,255) and (46,223.66) .. (46,185) -- cycle ;
%Straight Lines [id:da902863512292037]
\draw (28.9,184.52) -- (217.9,185.52) ;


%Curve Lines [id:da49418005648258423]
\draw (90.27,106.35) .. controls (68.09,108.45) and (53.81,122.15) .. (45.67,141.23) ;
\draw [shift={(44.93,143.01)}, rotate = 291.8] [fill={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 } ][line width=0.75] [draw opacity=0] (10.72,-5.15) -- (0,0) -- (10.72,5.15) -- (7.12,0) -- cycle ;

%Straight Lines [id:da2492339858222239]
\draw (116,185) -- (222.5,94.02) ;


%Straight Lines [id:da20277916634590842]
\draw (301.4,94.02) -- (454,187) ;


%Straight Lines [id:da44868782621282777]
\draw (116,185) -- (147.75,246.22) ;
\draw [shift={(148.67,248)}, rotate = 242.59] [color={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 } ][line width=0.75] (10.93,-3.29) .. controls (6.95,-1.4) and (3.31,-0.3) .. (0,0) .. controls (3.31,0.3) and (6.95,1.4) .. (10.93,3.29) ;

%Curve Lines [id:da23399649500260344]
\draw [dash pattern={on 4.5pt off 4.5pt}] (116,115) .. controls (125.7,93.49) and (94.57,104.19) .. (111.9,71.52) ;



% Text Node
\draw (190.33,137) node {$F( t)$};
% Text Node
\draw (278,31) node {$y$};
% Text Node
\draw (591,207) node {$x$};
% Text Node
\draw (236.17,102.33) node {$\phi $};
% Text Node
\draw (242,209.5) node {$r_{1}$};
% Text Node
\draw (480.33,203.17) node {$r_{3}$};
% Text Node
\draw (242.67,144.5) node {$r_{2}$};
% Text Node
\draw (494.33,254.5) node {$r_{4}$};
% Text Node
\draw (394.83,98) node {$\omega _{3} =\omega _{4}$};
% Text Node
\draw (240.5,235.33) node {$\dot{\phi } =\omega _{1} =\omega _{2}$};
% Text Node
\draw (286.83,108.33) node {$m_{2}$};
% Text Node
\draw (312.17,114) node {$m_{1}$};
% Text Node
\draw (489.5,83) node {$m_{4}$};
% Text Node
\draw (523.5,84.33) node {$m_{3}$};
% Text Node
\draw (206,61) node {$v_{5}$};
% Text Node
\draw (390.83,32.33) node {$m_{\text{roweru + rowerzysty}}$};
% Text Node
\draw (373,69.24) node {$T( t)$};
% Text Node
\draw (54.83,106) node {$\omega _{5}$};
% Text Node
\draw (166.33,259.5) node {$r_{5} =r_{4}$};
% Text Node
\draw (115.5,55) node {$m_{5}$};


\end{tikzpicture}}\)
Dodatkowo jazdę pod górę lub z góry można zamodelować dodając człon z niezerową energią potencjalną. Wszak gdy rower jedzie pod górę nachyloną pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\) zwiększa energię potencjalną. Rozważmy:
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}[x=0.75pt,y=0.75pt,yscale=-0.85,xscale=0.85]
%uncomment if require: \path (0,364.52000427246094); %set diagram left start at 0, and has height of 364.52000427246094

%Shape: Axis 2D [id:dp35950498004235576]
\draw (218.31,166.13) -- (590.24,244.03)(296.38,31.95) -- (259.47,208.13) (584.41,237.7) -- (590.24,244.03) -- (582.36,247.49) (290.05,37.78) -- (296.38,31.95) -- (299.83,39.83) ;
%Shape: Circle [id:dp1598186315344272]
\draw (241.7,171.03) .. controls (244.53,157.51) and (257.78,148.85) .. (271.3,151.68) .. controls (284.81,154.51) and (293.47,167.76) .. (290.64,181.28) .. controls (287.81,194.79) and (274.56,203.45) .. (261.05,200.62) .. controls (247.53,197.79) and (238.87,184.54) .. (241.7,171.03) -- cycle ;
%Shape: Circle [id:dp055437406840056935]
\draw (433.33,212.68) .. controls (435.6,201.87) and (446.2,194.94) .. (457.01,197.2) .. controls (467.82,199.47) and (474.75,210.07) .. (472.49,220.88) .. controls (470.22,231.69) and (459.62,238.62) .. (448.81,236.35) .. controls (438,234.09) and (431.07,223.49) .. (433.33,212.68) -- cycle ;
%Shape: Circle [id:dp7415694229494616]
\draw (384.4,202.43) .. controls (392.32,164.59) and (429.42,140.34) .. (467.26,148.26) .. controls (505.1,156.19) and (529.35,193.29) .. (521.42,231.13) .. controls (513.5,268.97) and (476.4,293.22) .. (438.56,285.29) .. controls (400.72,277.36) and (376.47,240.27) .. (384.4,202.43) -- cycle ;
%Straight Lines [id:da9806435666389433]
\draw (271.3,151.68) -- (457.01,197.2) ;


%Straight Lines [id:da035430635314692704]
\draw (261.05,200.62) -- (448.81,236.35) ;


%Straight Lines [id:da22538582186259992]
\draw (222.57,97.01) -- (266.17,176.15) ;


%Straight Lines [id:da5260494401267348]
\draw (222.57,97.01) -- (214.78,134.2) ;
\draw [shift={(214.37,136.16)}, rotate = 281.83] [color={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 } ][line width=0.75] (10.93,-3.29) .. controls (6.95,-1.4) and (3.31,-0.3) .. (0,0) .. controls (3.31,0.3) and (6.95,1.4) .. (10.93,3.29) ;

%Curve Lines [id:da960882140799149]
\draw (283.21,100.18) .. controls (261.07,97.69) and (248.79,102.56) .. (237.19,119.22) ;
\draw [shift={(236.11,120.8)}, rotate = 303.63] [fill={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 } ][line width=0.75] [draw opacity=0] (10.72,-5.15) -- (0,0) -- (10.72,5.15) -- (7.12,0) -- cycle ;

%Straight Lines [id:da6306741818269563]
\draw (453.09,214.95) -- (471.61,281.38) ;
\draw [shift={(472.15,283.31)}, rotate = 254.42000000000002] [color={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 } ][line width=0.75] (10.93,-3.29) .. controls (6.95,-1.4) and (3.31,-0.3) .. (0,0) .. controls (3.31,0.3) and (6.95,1.4) .. (10.93,3.29) ;

%Straight Lines [id:da5675059948512187]
\draw (453.09,214.95) -- (465.87,230.97) ;
\draw [shift={(467.12,232.53)}, rotate = 231.42000000000002] [color={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 } ][line width=0.75] (10.93,-3.29) .. controls (6.95,-1.4) and (3.31,-0.3) .. (0,0) .. controls (3.31,0.3) and (6.95,1.4) .. (10.93,3.29) ;

%Straight Lines [id:da9155630345814079]
\draw (266.17,176.15) -- (247.24,189.74) ;
\draw [shift={(245.61,190.9)}, rotate = 324.34000000000003] [color={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 } ][line width=0.75] (10.93,-3.29) .. controls (6.95,-1.4) and (3.31,-0.3) .. (0,0) .. controls (3.31,0.3) and (6.95,1.4) .. (10.93,3.29) ;

%Curve Lines [id:da10889899352528931]
\draw (455.04,132.95) .. controls (432.9,130.47) and (413.25,137.79) .. (401.21,154.6) ;
\draw [shift={(400.11,156.19)}, rotate = 303.63] [fill={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 } ][line width=0.75] [draw opacity=0] (10.72,-5.15) -- (0,0) -- (10.72,5.15) -- (7.12,0) -- cycle ;

%Curve Lines [id:da6359363901478918]
\draw (231.72,176.59) .. controls (221.63,190.25) and (230.72,209.2) .. (247.7,211.48) ;
\draw [shift={(249.57,211.66)}, rotate = 183.4] [fill={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 } ][line width=0.75] [draw opacity=0] (10.72,-5.15) -- (0,0) -- (10.72,5.15) -- (7.12,0) -- cycle ;

%Curve Lines [id:da8295911147551149]
\draw [dash pattern={on 4.5pt off 4.5pt}] (242.28,129.42) .. controls (261.75,101.16) and (270.3,153.18) .. (296.5,119.16) ;


%Curve Lines [id:da034972741683483966]
\draw [dash pattern={on 4.5pt off 4.5pt}] (271.3,151.68) .. controls (290.77,123.42) and (298.91,177.56) .. (319.33,132.11) ;


%Curve Lines [id:da03544863254699582]
\draw [dash pattern={on 4.5pt off 4.5pt}] (457.01,197.2) .. controls (491.02,145.08) and (504.65,213.32) .. (537.23,139.09) ;


%Curve Lines [id:da8257195852594381]
\draw [dash pattern={on 4.5pt off 4.5pt}] (463.91,149.12) .. controls (477.82,130.06) and (483.31,159.13) .. (506.97,130.71) ;


%Shape: Rectangle [id:dp22609974098789554]
\draw [pattern=_p8yvy5n6s,pattern size=6pt,pattern thickness=0.75pt,pattern radius=0pt, pattern color={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0}] (322.61,94.49) -- (245.39,78.31) -- (254.61,34.27) -- (331.84,50.44) -- cycle ;
%Straight Lines [id:da6856271747440954]
\draw (288.61,64.38) -- (195.78,43.93) ;
\draw [shift={(193.83,43.5)}, rotate = 372.41999999999996] [color={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 } ][line width=0.75] (10.93,-3.29) .. controls (6.95,-1.4) and (3.31,-0.3) .. (0,0) .. controls (3.31,0.3) and (6.95,1.4) .. (10.93,3.29) ;

%Curve Lines [id:da08493066156703666]
\draw [dash pattern={on 4.5pt off 4.5pt}] (318.22,59.51) .. controls (337.7,31.24) and (334.5,80.8) .. (360.7,46.78) ;


%Straight Lines [id:da6370219149590983]
\draw (329.93,72.01) -- (377.89,81.78) ;
\draw [shift={(379.85,82.18)}, rotate = 191.52] [color={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 } ][line width=0.75] (10.93,-3.29) .. controls (6.95,-1.4) and (3.31,-0.3) .. (0,0) .. controls (3.31,0.3) and (6.95,1.4) .. (10.93,3.29) ;

%Shape: Circle [id:dp5299571143057493]
\draw (53.99,131.18) .. controls (61.91,93.34) and (99.01,69.09) .. (136.85,77.01) .. controls (174.69,84.94) and (198.94,122.04) .. (191.01,159.88) .. controls (183.09,197.72) and (145.99,221.97) .. (108.15,214.04) .. controls (70.31,206.11) and (46.06,169.02) .. (53.99,131.18) -- cycle ;
%Straight Lines [id:da902863512292037]
\draw (37.35,127.2) -- (222.13,166.93) ;


%Curve Lines [id:da49418005648258423]
\draw (113.44,63.27) .. controls (91.3,60.78) and (74.51,71.27) .. (62.64,88.27) ;
\draw [shift={(61.55,89.86)}, rotate = 303.63] [fill={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 } ][line width=0.75] [draw opacity=0] (10.72,-5.15) -- (0,0) -- (10.72,5.15) -- (7.12,0) -- cycle ;

%Straight Lines [id:da2492339858222239]
\draw (122.5,145.53) -- (245.39,78.31) ;


%Straight Lines [id:da20277916634590842]
\draw (322.61,94.49) -- (452.91,216.78) ;


%Straight Lines [id:da44868782621282777]
\draw (122.5,145.53) -- (141.02,211.96) ;
\draw [shift={(141.56,213.89)}, rotate = 254.42000000000002] [color={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 } ][line width=0.75] (10.93,-3.29) .. controls (6.95,-1.4) and (3.31,-0.3) .. (0,0) .. controls (3.31,0.3) and (6.95,1.4) .. (10.93,3.29) ;

%Curve Lines [id:da23399649500260344]
\draw [dash pattern={on 4.5pt off 4.5pt}] (136.85,77.01) .. controls (150.75,57.95) and (118.09,62.04) .. (141.75,33.62) ;


%Straight Lines [id:da7208125450866978]
\draw (21.9,197.52) -- (636.9,327.52) ;


%Straight Lines [id:da4893602548388196]
\draw (28.9,321.52) -- (636.9,327.52) ;


%Curve Lines [id:da5070398357231565]
\draw (297.9,323.52) .. controls (277.12,304.33) and (277.87,278.31) .. (307.53,258.42) ;
\draw [shift={(308.9,257.52)}, rotate = 507.17] [color={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 } ][line width=0.75] (10.93,-3.29) .. controls (6.95,-1.4) and (3.31,-0.3) .. (0,0) .. controls (3.31,0.3) and (6.95,1.4) .. (10.93,3.29) ;


% Text Node
\draw (205.09,113.79) node [rotate=-11.83] {$F( t)$};
% Text Node
\draw (312.63,28.01) node [rotate=-11.83] {$y$};
% Text Node
\draw (585.01,234.62) node [rotate=-8.99] {$x$};
% Text Node
\draw (257.06,89.25) node [rotate=-11.83] {$\phi $};
% Text Node
\draw (240.8,195.34) node [rotate=-11.83] {$r_{1}$};
% Text Node
\draw (475.37,238) node [rotate=-11.83] {$r_{3}$};
% Text Node
\draw (254.78,131.85) node [rotate=-11.83] {$r_{2}$};
% Text Node
\draw (447.55,262.11) node [rotate=-11.83] {$r_{4}$};
% Text Node
\draw (413.25,117.54) node [rotate=-11.83] {$\omega _{3} =\omega _{4}$};
% Text Node
\draw (234.04,220.31) node [rotate=-11.83] {$\dot{\phi } =\omega _{1} =\omega _{2}$};
% Text Node
\draw (305.42,105.51) node [rotate=-11.83] {$m_{2}$};
% Text Node
\draw (329.05,116.25) node [rotate=-11.83] {$m_{1}$};
% Text Node
\draw (508.98,122.26) node [rotate=-11.83] {$m_{4}$};
% Text Node
\draw (541.98,130.54) node [rotate=-11.83] {$m_{3}$};
% Text Node
\draw (236.01,42.61) node [rotate=-11.83] {$v_{5}$};
% Text Node
\draw (422.79,52.45) node [rotate=-11.83] {$m_{\text{roweru + rowerzysty}}$};
% Text Node
\draw (397.77,84.91) node [rotate=-11.83] {$T( t)$};
% Text Node
\draw (78.83,55.67) node [rotate=-11.83] {$\omega _{5}$};
% Text Node
\draw (105.49,192.76) node [rotate=-11.83] {$r_{5} =r_{4}$};
% Text Node
\draw (148.66,18.19) node [rotate=-11.83] {$m_{5}$};
% Text Node
\draw (313,290) node {$\alpha $};


\end{tikzpicture}}\)
Gdzie \(\displaystyle{ E_p=m_{\text{r+r}}gh=m_{\text{r+r}}g\left( \frac{r_1}{r_3}\phi r_4\sin \alpha \right) \Rightarrow \frac{ \partial E_p}{ \partial \phi}=m_{\text{r+r}}g \frac{r_1r_4}{r_3} \sin \alpha}\). Gdy \(\displaystyle{ \alpha \le 0}\) to energia potencjalna maleje odpowiada to zjeżdżaniu z góry. Można też symulować nierówność zakładając, że \(\displaystyle{ \alpha}\) jest funkcją czasu powiedzmy o małym okresie na przykład \(\displaystyle{ \alpha =\sin\left( 100t\right)}\) albo w ogólne jakiś szum można podać na \(\displaystyle{ \alpha}\) (może to być zmienna losowa o rozkładzie jednostajnym). Jak widać model się komplikuje i komplikują się równania. Jak byśmy założyli, że rower ma jeszcze amortyzatory to dostaniemy układ o dwóch stopniach swobody i trzeba by było wtedy napisać jeszcze jedno równanie różniczkowe można by było na przykład wprowadzić kąt obrotu całego roweru \(\displaystyle{ \psi}\) woków tylnej osi. Choć i bez tego jest wystarczająco złożony by jedynym sensownym narzędziem badania był komputer i program typu matlab (simulink).
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Re: Rower z dużymi i małymi kołami

Post autor: kruszewski »

Dla porównania wpływu średnicy kół na siłę przykładaną do pedału ustalmy:
Dwa jednakowe rowery bez kół.
Niezmienne:
- przełożenie kinematyczne i między mechanizmem korbowym a osią koła napędzanego
- ramiona korb.
Dwa komplety kół przednich i tylnych różniących się promieniem zewnętrznym i masą, i takim samym ciśnieniu w dętkach lub takim, że ugięcie opony pod ciężarem jest jednakowa.
Droga o szorstkości i wyboistości taka sama (kształt i wysokość przeszkody dobrany ale jednakowy dla obu jazd) , stąd opory ruchu przy takiej samej prędkości zależą od kąta najazdu na przeszkodę, powierzchni styczności koła z drogą.

W obu przypadkach zapytajmy o momenty sił (ich różnicę lub iloraz), jakie należy przyłożyć do osi koła napędzanego dla pokonania oporów ruchu ze stałą prędkością a w przypadku "rozpędzania się" uwzględnić momenty bezwładności kół.
Model wraźnie się upraszcza.
ODPOWIEDZ