rownania Lagrange'a II rodzaju - drgania wymuszone

Mechanika płynów. Sprężystość. Grawitacja. Inne zagadnienia mechaniki klasycznej.
michal2323
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 128
Rejestracja: 12 lut 2017, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 3 razy

rownania Lagrange'a II rodzaju - drgania wymuszone

Post autor: michal2323 »

Witam! Mam wątpliwości co do zastosowania rownań Lagrange'a II rodzaju w celu wyznaczenia rownania ruchu drgającego układu na sprężynie oraz tłumiku,poddanego działaniu wymuszenia sinusoidalnego.

Poniżej link do zdjęcia z zadaniem:


Po pierwsze: nie jestem pewien czy siłe grawitacji uwzględniamy jedynie przy wyliczaniu \(\displaystyle{ L = E_k - E_p}\) jako energie potencjalną grawitacji,czy również należy ją uwzględnic po prawej stronie równania przy sile uogólnionej. Wydaje mi się,że wystarczy to uwzględnić tylko w energii potencjalnej.

W tym przypadku należałoby chyba również w równaniu uwzględnić moc strat z powodu występowania w układzie tłumika.

Poza tym co zrobić w przypadku gdy w zadaniu będzie należało wyznaczyć częstość drgań własnych oraz wymuszonych. W pierwszym przypadku chyba wystarczyłoby nie uwzględnić siły wymuszającej \(\displaystyle{ P}\),jednak nie wiem jak wyznaczyć częstość drgań własnych \(\displaystyle{ \omega_0}\) z powodu występowania w równaniu składnika związanego z mocą strat.
Natomiast przy uwzględnieniu jeszcze wymuszenia już kompletnie nie wiem jak to rozwiązać. Czy mógłby mi ktoś pomóc? Prosiłbym o polecenie mi materiałów,w których tego typu problemy są rozwiazane krok po kroku.


Z góry dziękuję za pomoc!
Ostatnio zmieniony 1 lut 2019, o 18:42 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7911
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

rownania Lagrange'a II rodzaju - drgania wymuszone

Post autor: janusz47 »

1.
Najpierw należy wybrać współrzędną uogólnioną.

W rozważanym przypadku można przyjąć współrzędną \(\displaystyle{ x}\) od punktu, w którym sprężyna jest w stanie swobodnym (nieodkształcona) lub współrzędną \(\displaystyle{ q}\) od położenia równowagi statycznej.

Ponadto należy uwzględnić, że na ciało oprócz przyłożonej siły zewnętrznej

\(\displaystyle{ F(t) = \sin(\omega t)}\),

działa siła ciężkości

\(\displaystyle{ G = mg.}\)

Po przyjęciu współrzędnej uogólnionej na podstawie zasady d'Alemberta można napisać

\(\displaystyle{ F_{m} + F{e}+F_{k} = G +F(t)}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ F_{m} = mx^{''}, \ \ F_{c} = c\cdot x^{'}, \ \ F_{s} = kx.}\)

W rozważanym przypadku trzeba uwzględnić, że w stanie równowagi statycznej sprężyna jest wydłużona o wartość \(\displaystyle{ x_{stat}.}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ G = k\cdot x_{stat.}}\)

stąd równanie równowagi

\(\displaystyle{ F_{m} +F_{c} +F_{k} - G = F(t),}\)

można przekształcić do postaci

\(\displaystyle{ m\cdot x^{''} + c\cdot x^{'} +k\cdot x -k\cdot x_st = F(t)}\)

lub

\(\displaystyle{ m\cdot x^{''} + c\cdot x^{'} +k( x - x_{stat}) = F(t)}\)

Jeżeli obliczamy drgania \(\displaystyle{ q}\) względnej punktu położenia równowagi statycznej, a nie drgania \(\displaystyle{ x}\) względem punktu odniesienia dla nieodkształconej sprężyny, to ruch można wyrazić przemieszczeniem \(\displaystyle{ q.}\)

Pochodne \(\displaystyle{ x}\)po czasie można zapisać w postaci

\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt}= \frac{d}{dt}\left( q + x_{max}\right) =\frac{dq}{dt}}\)

\(\displaystyle{ \frac{d^2x}{dt}= \frac{d^2}{dt^2}\left( q + x_{max}\right) =\frac{d^{2} q}{dt^2}}\)

Więc równanie różniczkowe ruchu układu przyjmuje postać

\(\displaystyle{ m\cdot q^{''} +c\cdot q^{'}+ k\cdot( x - x_{stat}) = F(t) = \sin(\omega(t)),}\)

a następnie po uwzględnieniu \(\displaystyle{ x = q + x_{stat}}\)

\(\displaystyle{ m\cdot q^{''} +c\cdot q^{'} + k\cdot q = F(t) = \sin(\omega t).}\)

Po obustronnym podzieleniu przez masę \(\displaystyle{ m}\)

\(\displaystyle{ q^{''} +\frac{c}{m}\cdot q^{'} + \frac{k}{m}\cdot q = \frac{F(t)}{m}= \frac{\sin(\omega t)}{m}.}\)

W literaturze powszechnie stosuje się oznaczenia

\(\displaystyle{ 2h = \frac{c}{m}, \ \ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}},}\)

\(\displaystyle{ h}\) - względny współczynnik tłumienia,

\(\displaystyle{ \omega}\) - częstość drgań swobodnych nietłumionych.

Na podstawie tych działań udowodniono, że na drgania pionowe tego układu nie wpływa pole grawitacyjne i można obliczać drgania względem równowagi statycznej.

2.
Rozwiązanie zadania przy zastosowaniu równań Lagrange'a można zapisać w postaci procedury:

\(\displaystyle{ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial E_{k}}{\partial q^{'}}\right) + \frac{\partial V}{\partial q} + \frac{\partial D}{\partial q^{'}} = F(t) + G}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ E_{k} = m \frac{q^{'}^2}{2}, \ \ D = c\frac{q^{'}^2}{2}, \ \ V = k\frac{(x_{stat}+q)^2}{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial E_{k}}{\partial q^{'}_{i}}\right) = \frac{d}{dt}\left(\frac{ \partial }{ \partial q^{'}}m\frac{q^{'}^2}{2}\right) = m\frac{d}{dt}q^{'}= m\cdot q^{''}.}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial D}{\partial q^{'}}= \frac{\partial}{ \partial q^{'}}c\frac{q^{'}^2}{2}= c\cdot q^{'}}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial V}{ \partial q}= \frac{\partial }{\partial q}k\frac{(x_{stat} +q)^2}{2}= k(x_{stat} + q)}\)

\(\displaystyle{ m q^{''}+c q^{'}+k (q - x_{stat})= F(t) + G}\)

\(\displaystyle{ q^{''} + \frac{c}{m}q^{'} +\frac{k}{m}q = \frac{F(t)}{m}}\)

\(\displaystyle{ q^{''} +2h\cdot q^{'}+ \omega^2\cdot q = f(t), \ \ f(t) = \frac{F(t)}{m} = \frac{\sin(\omega t)}{m}, \ \ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.}\)

Wypadałoby, wprowadzając dane techniczne "układu - tłumik-sprężyna" napisać procedurę drgań układu pod wpływem wymuszenia sinusoidalnego na przykład w programie SAGE czy MATLAB-OCTAVE.

Odsyłam na przykład do dwutomowej książki Zbigniewa Osińskiego MECHANIKA OGÓLNA. PWN. Warszawa 1987.
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Re: rownania Lagrange'a II rodzaju - drgania wymuszone

Post autor: kruszewski »

Propozycja dla autora odpowiedzi, pana janusz47 i pana Administratora:

Proponuję dołączyć dobry rysunek i objaśnienia oznaczeń a po tych zabiegach dołączyć do "przyklejonych"
Rozwiązanie w tej formie będzie pomocne wielu szukającym pomocy w niezbyt trudnym ale często zawile objaśnianym problemie.
W.Kr.
ODPOWIEDZ