Niezmienniczość Lagrangianu - pytane na temat tw. Noether
: 30 paź 2017, o 02:35
Analizując dowód tw. Noether utknąłem na następującym zapisie:
\(\displaystyle{ \frac{dL}{dt} = \sum_{i} \left( \frac{ \partial L}{\partial q _{i} } q_{i}'+\frac{ \partial L}{\partial q _{i}' } q _{i}'' \right) + \frac{ \partial L}{\partial t}}\)
1. Tu moje pytanie, na jakiej zasadzie powyższa równość jest prawdziwa ? Czy są tu przyjęte jakieś ukryte założenia np. że funkcje \(\displaystyle{ q_i}\) i \(\displaystyle{ q_i'}\) będą należeć do oddzielnych czynników sumy Lagrangianu ? Bo przecież w przeciwnym razie należałoby zastosować regułę mnożenia i powyższe wyrażenie wyglądałoby w bardziej złożony sposób. Tak samo ze współrzędną \(\displaystyle{ t}\), bo przecież nie ma żadnego powodu, żeby nie wystąpiła ona w tym samym składniku sumy co współrzędne położenia chociażby w wyrażeniu \(\displaystyle{ V \left( x,t \right)}\).
Z definicji pęd uogólniony:
\(\displaystyle{ p_{i} = \frac{ \partial L}{\partial q _{i}' }}\)
więc możemy zapisać:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial L}{\partial q _{i}' } q _{i}'' = p_{i} q _{i}''}\)
2. A dlaczego wobec tego możemy zapisać także \(\displaystyle{ \frac{ \partial L}{\partial q _{i}} q _{i}' = p_{i}' q _{i}'}\) ? To jest dla mnie nieoczywiste.
3. Skąd wiemy, że jeśli \(\displaystyle{ p_{i} = \frac{ \partial L}{\partial q _{i}' }}\) to \(\displaystyle{ p_{i} = mx _{i}'}\) ?
4. Poza tym dla lepszego zrozumienia chciałbym odtworzyć ten wynik na konkretny przykładzie. Rozważmy kamień w centralnym polu grawitacyjnym spadający z wysokości \(\displaystyle{ h}\) i załóżmy że stała grawitacji jest funkcją czasu \(\displaystyle{ G \left( t \right)}\) - ewentualnie może lepszym wyborem byłoby \(\displaystyle{ M \left( t \right)}\) ? W każdym razie chodzi o to aby potencjał pola grawitacyjnego nie był stały w czasie:
\(\displaystyle{ L = \frac{ 1}{2} mv ^{2} + \frac{G \left( t \right) Mm}{r+h \left( t \right) }}\)
\(\displaystyle{ L \left( x,x',t \right) = \frac{ 1}{2} mx' ^{2} + \frac{G \left( t \right) Mm}{r+h \left( t \right) }}\)
Zgodnie z tw. Noether \(\displaystyle{ E' = \frac{ d}{dt} \left( \frac{ 1}{2} mv ^{2} - \frac{G \left( t \right) Mm}{r+h \left( t \right) } \right) =
0 \Leftrightarrow \left\langle = \right\rangle G \left( t \right) = const}\) ?
Do tego chyba nie potrzeba twierdzenia Noether, bo i tak prawa dynamiki są tak zdefiniowane, że:
\(\displaystyle{ \frac{d}{dt}E = mx'x'' - \left( -\frac{G \left( t \right) Mm}{ \left( r+h \left( t \right) \right) ^{2} }h \left( t \right) ' + \frac{G \left( t \right) 'Mm}{r+h \left( t \right) } \right)}\)
\(\displaystyle{ \frac{d}{dt}E = mx'x'' - \left( \frac{G \left( t \right) Mm}{ \left( r+h \left( t \right) \right) ^{2} }x' + \frac{G \left( t \right) 'Mm}{r+h \left( t \right) } \right)}\)
\(\displaystyle{ \frac{d}{dt}E = x' \left( mx'' - \frac{G \left( t \right) Mm}{ \left( r+h \left( t \right) \right) ^{2} } \right) - \frac{G \left( t \right) 'Mm}{r+h \left( t \right) }}\)
\(\displaystyle{ \frac{d}{dt}E = - \frac{G \left( t \right) 'Mm}{r+h \left( t \right) }}\)
Czy to jest prawidłowe ?
Bo jeżeli jest, to ja w takim razie nie wiem co daje ta Noether.
5. I jeszcze jedno: w definicji symetrii lagrangianu względem translacji czasowej jest mowa o pochodnej cząstkowej czyli \(\displaystyle{ \frac{ \partial L}{\partial t } = 0}\). Czy to dotyczy wszystkich funkcji czasu nie związanych z przemieszczeniem ani prędkością ? Czyli np. dla \(\displaystyle{ L}\)z punktu 4:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial L}{\partial t } = \frac{G \left( t \right) 'Mm}{r+h \left( t \right) } ?}\).
.
\(\displaystyle{ \frac{dL}{dt} = \sum_{i} \left( \frac{ \partial L}{\partial q _{i} } q_{i}'+\frac{ \partial L}{\partial q _{i}' } q _{i}'' \right) + \frac{ \partial L}{\partial t}}\)
1. Tu moje pytanie, na jakiej zasadzie powyższa równość jest prawdziwa ? Czy są tu przyjęte jakieś ukryte założenia np. że funkcje \(\displaystyle{ q_i}\) i \(\displaystyle{ q_i'}\) będą należeć do oddzielnych czynników sumy Lagrangianu ? Bo przecież w przeciwnym razie należałoby zastosować regułę mnożenia i powyższe wyrażenie wyglądałoby w bardziej złożony sposób. Tak samo ze współrzędną \(\displaystyle{ t}\), bo przecież nie ma żadnego powodu, żeby nie wystąpiła ona w tym samym składniku sumy co współrzędne położenia chociażby w wyrażeniu \(\displaystyle{ V \left( x,t \right)}\).
Z definicji pęd uogólniony:
\(\displaystyle{ p_{i} = \frac{ \partial L}{\partial q _{i}' }}\)
więc możemy zapisać:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial L}{\partial q _{i}' } q _{i}'' = p_{i} q _{i}''}\)
2. A dlaczego wobec tego możemy zapisać także \(\displaystyle{ \frac{ \partial L}{\partial q _{i}} q _{i}' = p_{i}' q _{i}'}\) ? To jest dla mnie nieoczywiste.
3. Skąd wiemy, że jeśli \(\displaystyle{ p_{i} = \frac{ \partial L}{\partial q _{i}' }}\) to \(\displaystyle{ p_{i} = mx _{i}'}\) ?
4. Poza tym dla lepszego zrozumienia chciałbym odtworzyć ten wynik na konkretny przykładzie. Rozważmy kamień w centralnym polu grawitacyjnym spadający z wysokości \(\displaystyle{ h}\) i załóżmy że stała grawitacji jest funkcją czasu \(\displaystyle{ G \left( t \right)}\) - ewentualnie może lepszym wyborem byłoby \(\displaystyle{ M \left( t \right)}\) ? W każdym razie chodzi o to aby potencjał pola grawitacyjnego nie był stały w czasie:
\(\displaystyle{ L = \frac{ 1}{2} mv ^{2} + \frac{G \left( t \right) Mm}{r+h \left( t \right) }}\)
\(\displaystyle{ L \left( x,x',t \right) = \frac{ 1}{2} mx' ^{2} + \frac{G \left( t \right) Mm}{r+h \left( t \right) }}\)
Zgodnie z tw. Noether \(\displaystyle{ E' = \frac{ d}{dt} \left( \frac{ 1}{2} mv ^{2} - \frac{G \left( t \right) Mm}{r+h \left( t \right) } \right) =
0 \Leftrightarrow \left\langle = \right\rangle G \left( t \right) = const}\) ?
Do tego chyba nie potrzeba twierdzenia Noether, bo i tak prawa dynamiki są tak zdefiniowane, że:
\(\displaystyle{ \frac{d}{dt}E = mx'x'' - \left( -\frac{G \left( t \right) Mm}{ \left( r+h \left( t \right) \right) ^{2} }h \left( t \right) ' + \frac{G \left( t \right) 'Mm}{r+h \left( t \right) } \right)}\)
\(\displaystyle{ \frac{d}{dt}E = mx'x'' - \left( \frac{G \left( t \right) Mm}{ \left( r+h \left( t \right) \right) ^{2} }x' + \frac{G \left( t \right) 'Mm}{r+h \left( t \right) } \right)}\)
\(\displaystyle{ \frac{d}{dt}E = x' \left( mx'' - \frac{G \left( t \right) Mm}{ \left( r+h \left( t \right) \right) ^{2} } \right) - \frac{G \left( t \right) 'Mm}{r+h \left( t \right) }}\)
\(\displaystyle{ \frac{d}{dt}E = - \frac{G \left( t \right) 'Mm}{r+h \left( t \right) }}\)
Czy to jest prawidłowe ?
Bo jeżeli jest, to ja w takim razie nie wiem co daje ta Noether.
5. I jeszcze jedno: w definicji symetrii lagrangianu względem translacji czasowej jest mowa o pochodnej cząstkowej czyli \(\displaystyle{ \frac{ \partial L}{\partial t } = 0}\). Czy to dotyczy wszystkich funkcji czasu nie związanych z przemieszczeniem ani prędkością ? Czyli np. dla \(\displaystyle{ L}\)z punktu 4:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial L}{\partial t } = \frac{G \left( t \right) 'Mm}{r+h \left( t \right) } ?}\).
.