Jakie może być maksymalne chwilowe przyspieszenie roweru?

[Artut97]

Średnice kół rowerowych podaje się tradycyjnie w calach (\(\displaystyle{ 1 cal \approx 2,5 cm}\)). Rower górski ma zwykle średnicę kół \(\displaystyle{ 26 cali}\). Załóżmy, że przerzutka jest tak ustawiona, że łańcuch założony jest na koło zębate o średnicy \(\displaystyle{ 5cm}\) przy tylnym kole roweru oraz na koło zębate o średnicy \(\displaystyle{ 20cm}\) przy pedałach. Ramię pedału ma długość \(\displaystyle{ 20cm}\). Masa roweru wynosi \(\displaystyle{ 10kg}\), a masa rowerzysty \(\displaystyle{ 70kg}\). Jakie może być maksymalne chwilowe przyspieszenie roweru?

Odpowiedź z książki:
Zakładamy, że rowerzysta nie ma "nosków", więc największą siłę nacisku na pedał uzyska, opierając się na nim całym ciężarem równym \(\displaystyle{ 700N}\). Obliczamy kolejno: siłę, którą ciągnięty jest łańcuch; siłę, którą łańcuch ciągnie tylną zebatkę, wreszcie siłę, którą opona odpycha szosę. Ta ostatnia jest równa sile, którą szosa odpycha oponę, czyli sile napędzającej rower. Wynosi ok. \(\displaystyle{ 430N}\), a więc maksymalne przyspieszenie roweru wynosi ok. \(\displaystyle{ 5,4\frac{m}{s^{2}}}\). Rachunki będą prostsze, gdy zauważymy, że cały mechanizm roweru działa jak jeden kołowrót o ramieniu korby \(\displaystyle{ 20cm}\) i ramieniu wału \(\displaystyle{ 13cali}\).

I mam parę pytań.

1. Czemu można założyć, że maksymalna siła nacisku jest równa jego ciężarowi? Przecież na przykład, jeśli stoimy na wadze elektronicznej, możemy docisnąć i wskaże nam większą "masę" niż mamy rzeczywiście.

2. Czemu mechanizm roweru działa jak jeden kołowrót o ramieniu korby \(\displaystyle{ 20cm}\) i ramieniu wału \(\displaystyle{ 13cali}\)? Czemu pomijamy tylną zębatkę? Z życia wiadomo, że jeśli zwiększymy bieg z tyłu w rowerze tj. zmniejszymy promień tylnej zębatki będzie nam się trudniej jeździło. Czemu więc można tak założyć?

[SlotaWoj]

1. Auto zadania zakłada, że przyspieszenie jest chwilowe, ale w czasie nie krótszym niż np. \(\displaystyle{ 0,1\text{ s}}\).
2. Wyobraź sobie rower jednokołowy (bez łańcucha).

[Artut97]

1. Chyba zrozumiałem co ma Pan na myśli, dziękuję.
2. No wyobraziłem sobie, ale nie wiem za bardzo co chce Pan mi za pomocą tego wytłumaczyć. Jak odpowie Pan na postawione przeze mnie pytanie?

Czemu pomijamy tylną zębatkę? Z życia wiadomo, że jeśli zwiększymy bieg z tyłu w rowerze tj. zmniejszymy promień tylnej zębatki będzie nam się trudniej jeździło. Czemu więc można tak założyć?

[kruszewski]

"Odpowiedź z książki:
Zakładamy, że rowerzysta nie ma "nosków", więc największą siłę nacisku na pedał uzyska, opierając się na nim całym ciężarem równym 700N. Obliczamy kolejno: siłę,...., . Rachunki będą prostsze, gdy zauważymy, że cały mechanizm roweru działa jak jeden kołowrót o ramieniu korby 20cm i ramieniu wału 13cali."

Podobnie w napędzie samochodu, jeżeli zauważymy, że cały mechanizm działa jak jeden kołowrót o ramieniu korby jak promień koła zębatego na wale wykorbionym silnika i promieniu wału równym połowie średnicy napędzanego koła. Tyko pytanie? Po co wymyślano przekładnie?

[Artut97]

Też się nad tym zastanawiam.

[siwymech]

Słuszne wątpliwości, bo;
przyśpieszenie wprost proporcjonalne do siły \(\displaystyle{ F}\)...\(\displaystyle{ \quad}\)\(\displaystyle{ a =\frac{F}{m}}\)
Zmiany w czasie prędkości liniowej roweru - \(\displaystyle{ a= \frac{\Delta v}{\Delta t}}\) poprzez wielostopniową przekładnię łańcuchową.
W mechanizmach( przekładnie) tyle zyskujemy na sile, ile tracimy na drodze.
Koło o dużej średnicy \(\displaystyle{ d}\)-to mała liczba obr, duża siła obwodowa \(\displaystyle{ F}\) i duży moment obrotowy \(\displaystyle{ M}\). Odwrotność zachodzi dla koła o małej średnicy. Moment obrot. na kole o średnicy \(\displaystyle{ d}\) obl.:
\(\displaystyle{ M= F \cdot r=F \cdot \frac{d}{2}}\)
......................................................

[Artut97]

Ja zrobiłem to tak:
\(\displaystyle{ r_{R}=32,5cm}\) - Promień koła
\(\displaystyle{ z_{P}=20cm}\) - promień zębatki przy pedałach
\(\displaystyle{ z_{k}=5cm}\) - promień zębatki przy tylnim kole
\(\displaystyle{ r_{p}=20cm}\) - ramię pedała
\(\displaystyle{ F_{1}}\) - siła z jaką działamy

\(\displaystyle{ F_{1}\cdot r_{P}=F_{2}\cdot z_{P} \Rightarrow F_{1}=F_{2}}\)

\(\displaystyle{ F_{2}\cdot z_{K}=F_{3}\cdot r_{R} \Rightarrow F_{3}=\frac{F_{2}\cdot z_{K}}{r_{R}}}\)

\(\displaystyle{ a=\frac{F_{3}}{m}=\frac{F_{2}\cdot z_{K}}{r_{R}\cdot m}}\) jeśli podstawimy za \(\displaystyle{ F_{1}=700N}\) to \(\displaystyle{ a \approx 1,3\frac{m}{s^{2}}}\) i nie wiem czy dobrze myslę.

[SlotaWoj]

\(\displaystyle{ z_{P}=20cm}\) - promień zębatki przy pedałach
\(\displaystyle{ z_{k}=5cm}\) - promień zębatki przy tylnim kole

Tu (tak się składa) nie ma to znaczenia, ale te wartości, to średnice, a nie promienie.

Wprowadzam swoje oznaczenia (bo jak promień to \(\displaystyle{ r}\) lub \(\displaystyle{ R}\), a średnica: \(\displaystyle{ d}\) lub \(\displaystyle{ D}\)):

• \(\displaystyle{ M=70\text{ kg}}\) – masa rowerzysty,
  \(\displaystyle{ R_p=20\text{ cm}}\) – ramię pedału,
  \(\displaystyle{ d_p=20\text{ cm}}\) – średnica zębatki przy pedale,
  \(\displaystyle{ d_k=5\text{ cm}}\) – średnica zębatki przy kole,
  \(\displaystyle{ D_k=26"}\) – średnica koła jezdnego (w calach),
  \(\displaystyle{ (cm/in)=2,540(0)\text{ cm}/"}\) – przelicznik cale na milimetry, dokładnie, a nie jakieś \(\displaystyle{ 2,5\text{ cm}/"}\)
  \(\displaystyle{ m=10\text{ kg}}\) – masa roweru,
  \(\displaystyle{ g=9,80665\text{ kg/ms}^2}\) – średnie przyspieszenie ziemskie,
  \(\displaystyle{ F}\) – siła na obwodzie koła jezdnego,
  \(\displaystyle{ a}\) – przyspieszenie roweru.

Po kolei:

Siła na pedale [N]:

• \(\displaystyle{ Mg}\)

Moment na pedale [N·cm]:

• \(\displaystyle{ Mg\cdot R_p}\)

Siła na łańcuchu [N]:

• \(\displaystyle{ MgR_p\cdot\frac{2}{d_p}}\)

Moment na kole jezdnym [N·cm]:

• \(\displaystyle{ \frac{2MgR_p}{d_p}\cdot\frac{d_k}{2}}\)

Siła na obwodzie koła jezdnego [N]:

• \(\displaystyle{ F=\frac{2MgR_pd_k}{2d_p}\cdot\frac{2}{D_k\cdot(cm/in)}=\frac{2MgR_pd_k}{d_pD_k\cdot(cm/in)}}\)

Po podstawieniu wartości mamy:

• \(\displaystyle{ F=\frac{2\cdot70\cdot9,80665\cdot20\cdot5}{20\cdot26\cdot2,54}=103,95\text{ N}}\)

oraz:

• \(\displaystyle{ a=\frac{F}{M+m}=\frac{103,95}{70+10}=1,2993\text{ m}/s^2}\)

Oznacza to, że zarówno wartość siły, jak i możliwe przyspieszenie roweru podane w odpowiedzi są błędne.

Również końcowa uwaga: Rachunki będą prostsze, gdy zauważymy, że cały mechanizm roweru działa jak jeden kołowrót o ramieniu korby \(\displaystyle{ 20\text{ cm}}\) i ramieniu wału \(\displaystyle{ 13"}\). jest błędna (nie zauważyłem tego wcześniej, stąd moje nawiązanie do roweru jednokołowego), bo w takim razie po co przekładnia łańcuchowa. Żeby cokolwiek zauważyć, to trzeba ułożyć wzór, a to oznacza, że „tak jakbyśmy wykonali obliczenia”, więc na czym maja polegać te uproszczenia.

Podobnie w napędzie samochodu, jeżeli zauważymy, że cały mechanizm działa jak jeden kołowrót o ramieniu korby jak promień koła zębatego na wale wykorbionym silnika i promieniu wału równym połowie średnicy napędzanego koła. Tyko pytanie? Po co wymyślano przekładnie?

Wydaje mi się, że to co zaznaczyłem na zielono jest tylko trawestacją końcowego fragmentu odpowiedzi, do którego w opozycji jest końcowe pytanie.

Przecież, gdy przekładnia jest wielostopniowa, mamy:

• \(\displaystyle{ F=\frac{2MgR_p}{D_k\cdot(cm/in)}{\red{\cdot\frac{d_2}{d_1}\cdot\frac{d_4}{d_3}\cdot\frac{d_6}{d_5}\cdot ...}}}\)

i tego, co zaznaczyłem na czerwono nie można pominąć.

Edit:
Poprawiłem indeksowanie.

[kruszewski]

Jasne Panie Wojciechu, nie można pominąć. Przekładnia służy do zmiany momentu i pomniejsza moc na końcu ustrojstwa o straty na tarcie. Ten rowerowy mechanizm nie jest równoważny jednemu kołowrotowi jak tam jest napisane. Autor zadania nie bywał u studni?
Z ukłonami,
W.Kr.

[Artut97]

Dziękuję bardzo za pomoc.

[SlotaWoj]

Zalecam daleko posuniętą ostrożność przy korzystaniu z podręcznika/zbioru zadań, z którego pochodzi ww. zadanie. Jego jakość koresponduje z bylejakością powszechnie obecnie panującą w Polsce w wielu dziedzinach (polityka, administracja, szkolnictwo, media, reklama, popkultura etc.).

[siwymech]

Kołowrót(rysunek obrazuje jeden z jego modeli konstr.) zbudowany z dwóch walców o różnych średnicach \(\displaystyle{ d, D}\) umieszczonych na wspólnej osi.
Rozważając warunek równowagi- sumę momentów sił wzgl. osi obrotu możemy napisać równość:
\(\displaystyle{ F \cdot \frac{D}{2}=G \cdot \frac{d}{2}}\), (1)
Wartość siły \(\displaystyle{ F}\) przyłożonej do walca o dużej średnicy \(\displaystyle{ D}\) i utrzymującej kołowrót wraz z ciężarem \(\displaystyle{ G}\) w równowadze :
\(\displaystyle{ F = G\cdot \frac{d}{D}}\), (2)
Jak widać z równania (2), o zysku na sile F decyduje (stały) stosunek średnic \(\displaystyle{ { \frac{d}{D} }}\).
/W rozważaniu pominięto opory ruchu!/
Kołowrót stosowano p.n.e (Archimedes).
.........................................................
Zasadę równowagi w kołowrocie wykorzystujemy w przekładni łańcuchowej roweru, którą w najprostszym rozwiązaniu stanowią dwa koła łańcuchowe o różnych średnicach \(\displaystyle{ d _{1}, d _{2}}\), opasane łańcuchem.
Pisząc warunki równowagi momentów sił wzgl.osi obrotu(środki kół \(\displaystyle{ O _{1}, O _{2}}\) dla koła napędzającego- czynnego( \(\displaystyle{ d _{1}}\) i koła napędzanego \(\displaystyle{ d _{2}}\) możemy określić siłę obwodową \(\displaystyle{ F _{kj}}\) na kole jezdnym o średnicy \(\displaystyle{ D _{k}}\).
Siła \(\displaystyle{ S}\) obrazuje napięcie(reakcja)w cięgnie jakim jest łańcuch.
..................................
Koło napędzające- obl. siły rekacji \(\displaystyle{ S}\) :
\(\displaystyle{ F _{rk} \cdot R _{k}=S \cdot \frac{d _{1} }{2}}\), (3)
Napięcie łańcucha( siła reakcji w łańcuchu) \(\displaystyle{ S}\);
\(\displaystyle{ S= \frac{2 \cdot F _{rk} \cdot R _{k} }{d _{} 1}}\)
2.Koło napędzane -obl. siły na kole jezdnym:
\(\displaystyle{ F _{kj} \cdot \frac{D _{k} }{2}=S \cdot \frac{d _{2} }{2}}\)
Stąd siła na kole jezdnym:
\(\displaystyle{ F _{kj}= \frac{S \cdot d _{2} }{D _{k} }}\)
........................................................................
Celem uzyskania różnych predkości koła jezdnego w rowerach z przerzutką, łańcuch jest przesuwany na koła o różnych średnicach(różne ilości zębów na kole)- tkzw. przekładnia wielostopniowa.

Przekładnie charakteryzuje tkzw. przełożenie; Dla przekładni jednostopniowej(dwukołowej);
\(\displaystyle{ i= \frac{n _{1} }{n _{2} }= \frac{d _{2} }{d _{1} }}\)
-przełożenie geometryczne:
(dwa koła- \(\displaystyle{ d _{1}=200 mm, d _{2}=50 mm}\)):
\(\displaystyle{ i= = \frac{d _{2} }{d _{1} }= \frac{50}{200} =\frac{1}{4}}\)
-przełożenie kinematyczne:
\(\displaystyle{ i= \frac{n _{1} }{n _{2} }= \frac{1}{4}}\)
Obroty koła napędzanego:
\(\displaystyle{ n _{2}=4 \cdot n _{1}}\)\(\displaystyle{ }\) obr/min
......................
Współczesne rowery mają nawet do 27 przełożeń, zwanych czasem w języku potocznym biegami.
Przełożenie całkowite \(\displaystyle{ i _{c}}\) przekładni wielostopniowej jest iloczynem przełożeń na poszczególnych stopniach:
\(\displaystyle{ i _{c}=i _{1} \cdot i _{2} \cdot i _{3}... \cdot i _{n}}\)
...............................................

[Analiza123]

A jakie jest najmniejsze wyczuwalne przez człowieka przyspieszenie?
Ja na swoim rowerze koła 29cala jak dam z 1x1 pełne obroty potem 2x1 to jest wyczuwalne przyspieszenie.
Albo na 2x3 jak jadę i dam do pełnych obrotów to również czuć przyspieszenie.

[kruszewski]

Czym objawia się to odczuwanie? Co oznacza napis: 1x1 , 2x1, 2x3?