Równe siły działające na dno naczynia i powierzchnię boczną

[squared]

Do naczynia cylindrycznego o promieniu \(\displaystyle{ r}\) nalano tyle cieczy o gęstości \(\displaystyle{ d}\), że siła z jaką ciecz działa na powierzchnię boczną naczynia jest równa tej z jaką działa na dno. Oblicz wysokość słupa cieczy.

Nie mam pojęcia jak rozwiązać to zadanie. Próbowałem różnymi sposobami, nigdy mi nie wychodziło

[Chromosom]

promien \(\displaystyle{ r}\), gestosc \(\displaystyle{ d}\), czyli sila parcia dzialajaca na dolna scianke to \(\displaystyle{ F=pS=\pi r^2dgh}\), natomiast nacisk wywierany na boczna scianke przez cienka warstwe znajdujaca sie na glebokosci \(\displaystyle{ x}\) wynosi \(\displaystyle{ \mbox{d}F=dgx\cdot\mbox{d}S=dgx\cdot2\pi r\mbox{d}x}\), tak wiec musi zachodzic \(\displaystyle{ \pi r^2dgh=\int\limits^{h}_{0}2\pi rdgx\mbox{d}x}\) gdzie h jest niewiadoma

[squared]

Bez użycia całek czy co tam użyłeś nie da się tego obliczyć ?

[Chromosom]

raczej nie bo sila zalezy w sposob ciagly od wysokosci ,nie wydaje mi sie zeby istnial inny sposob niz calkowanie. Ewentualnie mozesz rozpisac z definicji granice \(\displaystyle{ F=\lim_{n\to\infty}\sum\limits^n_{i=1}F_i=\lim_{n\to\infty}\sum\limits^n_{i=1}dgx_i\cdot2\pi r\Delta x_i}\) ,wtedy nie korzystasz z calki

[steal]

gestosc \(\displaystyle{ d}\) (...) \(\displaystyle{ \mbox{d}F=dgx\cdot\mbox{d}S=dgx\cdot2\pi r\mbox{d}x}\)

Niefortunne dobranie oznaczenia na gęstość, nie sądzisz?

[Chromosom]

tez mi sie tak wydaje, chcialem dodac komentarz ale uznalem ze autor sie domysli:)

[rumcajs]

Można to zrobić bez użycia całek.
Wystarczy zauważyć, że ciśnienie w połowie wysokości ścianki jest średnią arytmetyczną ciśnienia na wysokości \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ H-x}\) dla dowolnego x.

Wtedy całkowita siła jest równa ciśnieniu w połowie wysokości pomnożonemu przez pole powierzchni bocznej.