Droga ciała rzuconego pionowo do góry (zmiany grawitacji)

[patryk007]

Chciałbym policzyć drogę przebytą przez ciało rzucone do góry z prędkością początkową \(\displaystyle{ v_{0}}\).

Coś zacząłem ale nie wiem czy nie kłamie:

\(\displaystyle{ x=v_{0}\cdot t + \int v dt}\)
\(\displaystyle{ a=\frac{dv}{dt} \Rightarrow dt=\frac{dv}{a}}\)
podstawiając:
\(\displaystyle{ x=v_{0}\cdot t + \int \frac{1}{a} v dv}\)
gdzie \(\displaystyle{ a}\) powinien być \(\displaystyle{ a=G\frac{M}{R^{2}}}\)

jeśli nie przekłamałem nic po drodze to podstawiając:
\(\displaystyle{ x=v_{0}\cdot t - \frac{1}{GM} \int R^{2} v dv}\)

teraz nie wiem jak powiązać \(\displaystyle{ v}\) i \(\displaystyle{ R}\). A może źle brnę? Pomóżcie.

[kazik1993]

Jeżeli ruch odbywa się na Ziemi to:
\(\displaystyle{ s=V _{0}t- \frac{gt ^{2}}{2}}\)
Tutaj masz drogę do zatrzymania się ciała (było rzucone do góry, prędkość się zmniejszała aż spadła do 0).
Teraz liczysz w czasie spadania (z racji tego że pr. początkowa jest tutaj zero to korzystasz ze tego samego wzoru, zamieniasz jedynie różnicę na sumę - wcześniej prędkość malała, teraz będzie rosnąć).
\(\displaystyle{ s=V _{0}t+ \frac{gt ^{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ s= \frac{gt ^{2} }{2}}\)
I dodajesz do siebie te drogi.

*Można było policzyć to od razu mnożąc 1-szą drogę przez 2 ale to rozwiązanie będzie pełniejsze.

[patryk007]

Sorry, nie dodałem, w wątku (tylko w temacie), że mamy uwzględnić zmiany grawitacji w zależności od odległości od środka Ziemi (\(\displaystyle{ R}\)).

Więc wątek jak najbardziej dalej aktualny. Anyone?