Czas i przestrzeń
Czas i przestrzeń
W Fizyce rozważa się pojęcie czasoprzestrzeni. Można też mówić o samej przestrzeni np.: w Matematyce. Wydaje mi się, że pojęci czasu jest nierozerwalnie związane z przestrzenią. czy mam rację?
-
AiDi
- Moderator
- Posty: 3843
- Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 702 razy
Re: Czas i przestrzeń
Mieszasz pojęcia. W fizyce czasoprzestrzeń to pewien byt, który matematycznie może być modelowany przez różne przestrzenie np. przestrzeń afiniczną, albo rozmaitość pseudoriemannowską. Mówiąc, że "czas jest nierozerwalnie związany z przestrzenią" mamy na myśli "przestrzeń fizyczną", która znów matematycznie modelowana jest przez różne przestrzenie (afiniczne, rozmaitości). Czas nie jest pojęcie matematycznym. Poza tym, bazując na Twoich tematach, to powinieneś już wiedzieć, że w matematyce słowo "przestrzeń" jest niejednoznaczne. Jaka przestrzeń? Wektorowa? Afiniczna? Topologiczna? Metryczna? Banacha? Hilberta? ...?
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Czas i przestrzeń
Czas i przestrzeń były i są ze sobą ściśle związane. Poszczególne teorie przestrzeni różnią się między sobą, bo zakładają różne struktury matematyczne w czasoprzestrzeni.
Do czasów Galileusza i Newtona przyjmowano, że zarówno przestrzeń jak i czas są absolutne, to znaczy, że każde dwa zdarzenia mają jednoznacznie określoną odległość w przestrzeni i jednoznacznie określoną odległość w czasie.
Zakładano, wzorując się na Arystotelesie, że wśród wszystkich możliwych układów odniesienia istnieje taki, który spoczywa i w nim powinny być mierzone odległości.
To założenie o istnieniu wyróżnionego przestrzennie układu odniesienia oznacza, że czasoprzestrzeń Arystotelesa możemy przedstawić w postaci iloczynu kartezjańskiego
\(\displaystyle{ \mathcal{A} = T \times S }\),
gdzie
\(\displaystyle{ T = E^{1} }\) jest osią czasu,
\(\displaystyle{ S = E^{3} }\) - trójwymiarową przestrzenią położeń.
Naturalna odległość \(\displaystyle{ d \in E^{3} }\) określa euklidesową odległość przestrzenną, a odległość \(\displaystyle{ \tau \in E^{1} }\) - długość odcinków czasu.
Odrzucenie przez Galileusza założenia o istnieniu we wszechświecie wyróżnionego układu odniesienia doprowadziło do rezygnacji czasoprzestrzeni Arystotelesa. Powstał nowy model czasoprzestrzeń Galileusza.
Różni się on od czasoprzestrzeni Arystotelesa tym, że odległość przestrzenna pomiędzy dwoma zdarzeniami określona jest tylko wtedy, gdy zdarzenia te są równoczesne. Przestrzeń staje się względna. Odległość dwóch zdarzeń nierównoczesnych zależy od wyboru układu odniesienia.
Czas natomiast pozostaje absolutny. Różnica czasów pomiędzy dwoma zdarzeniami nie zależy od wyboru układu odniesienia.
Wynika, stąd, że pojęcie równoczesności zdarzeń ma znaczenie absolutne.
Istnienie absolutnego pojęcia równoczesności zdarzeń oznacza podział czasoprzestrzeni \(\displaystyle{ E }\) na klasy zdarzeń równoczesnych, z których każda przedstawia dopuszczalne położenie ciał w ustalonej chwili czasu.
Zakłada się przy tym, że każda z klas ma strukturę trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej \(\displaystyle{ E^3. }\)
Podane fakty można matematycznie wyrazić w następujący sposób:
Istnieje odwzorowanie, zwane odwzorowaniem rzutowym
\(\displaystyle{ \pi: E \rightarrow T = E^{1} \ \ (*) }\),
które każdemu zdarzeniu \(\displaystyle{ p \in E }\) przyporządkowuje odpowiednią chwilę \(\displaystyle{ t.}\)
\(\displaystyle{ t = \pi(p) \in T = E^{1},}\)
Dla dowolnego \(\displaystyle{ t \in T }\) przeciwobraz \(\displaystyle{ \pi^{-1} \subset E }\), który przedstawia zbiór zdarzeń równoczesnych \(\displaystyle{ S_{t} }\) ma strukturę przestrzeni \(\displaystyle{ E^{3}. }\)
Używając współczesnej terminologii matematycznej, możemy powiedzieć, że przestrzeń Galileusza ma strukturę przestrzeni włóknistej.
Przestrzenią włóknistą (wiązką włóknistą) nazywamy trójkę \(\displaystyle{ ( X, \pi, B) }\), w której \(\displaystyle{ \pi: X \rightarrow B }\) jest odwzorowaniem (''na") - surjekcją przestrzeni wiązki \(\displaystyle{ X }\) na przestrzeń bazową (bazę) \(\displaystyle{ B. }\) Odwzorowanie \(\displaystyle{ \pi }\) jest rzutem.
Dla dowolnego \(\displaystyle{ x \in X}\) zbiór \(\displaystyle{ \pi^{-1}(x) }\) nazywamy włóknem nad \(\displaystyle{ x }\)
Zgodnie z wprowadzoną terminologią występujący we wzorze \(\displaystyle{ (*) }\) zbiór \(\displaystyle{ T }\) - oś czasu spełnia rolę przestrzeni bazowej.
Każdy zbiór zdarzeń równoczesnych \(\displaystyle{ S_{t} = \pi^{-1}(t), \ \ t \in T,}\) przedstawia włókno przestrzeni \(\displaystyle{ (E, \pi, T), }\) przy czym \(\displaystyle{ E = \bigcup_{t\in T} S_{t}.}\)
Czasoprzestrzeń Galileusza \(\displaystyle{ \mathcal{G} = ( E, \pi, T) }\) jest oczywiście przestrzenią czterowymiarową, ale czterowymiarowość czasoprzestrzeni podkreśla się dopiero od prac Einsteina i Minkowskiego.
Przyjęcie zasady względności w postaci zaproponowanej przez Eisteina wymagało rezygnacji z założenia, że istnieje czas absolutny. Założenie to prowadzi do niutonowskich wzorów na dodawanie (składanie) prędkości, których nie można pogodzić z faktem niezależności prędkości światła od ruchu źródła oraz ruchu obserwatora.
Ponadto jeśli zdarzenia dla jednego obserwatora w pewnym inercjalnym układzie odniesienia są równoczesne, dla obserwatora w innym układzie wcale nie muszą być równoczesne. Nie można mówić o równoczesności zdarzeń, nie wskazując jednocześnie względem jakiego układu odniesienia zdarzenia się te rozważa. Tak więc różni obserwatorzy różnie odbierają w czasie te same zdarzenia. Czas nie jest wielkością absolutną, lecz zależy od układu odniesienia.
Przytoczone argumenty wskazują, że musiała ulec zmianie struktura czasoprzestrzeni. Nie zakładamy, że w czasoprzestrzeni wyróżnione są hiperpłaszczyzny zdarzeń równoczesnych, że ma ona strukturę przestrzeni włóknistej, której bazą jest oś czasu. Rezygnujemy z czasoprzestrzeni Galileusza. Nowym modelem czasoprzestrzeni jest czasoprzestrzeń Minkowskiego.
Afiniczną przestrzenią Minkowskiego nazywamy przestrzeń \(\displaystyle{ \mathcal{M} = (\mathcal{A}, V^4) }\) z określonym na niej biliniowym i symetrycznym iloczynem skalarnym
\(\displaystyle{ ( \cdot ) : V^{4} \times V^{4} \rightarrow R^{1} }\)
Oznacza to, że w przestrzeni \(\displaystyle{ V^{4} }\) można wybrać bazę \(\displaystyle{ \{e_{\alpha}\} }\) w taki sposób, że
\(\displaystyle{ ((e_{\alpha}, e_{\beta})) = g_{\alpha, \beta} \ \ (**)}\)
Bazę spełniającą warunek \(\displaystyle{ (**) }\) nazywamy bazą ortonormalną.
Trzeba przyznać, że afiniczna przestrzeń Minkowskiego odgrywa w mechanice relatywistycznej podstawową rolę, bo stanowi ona model czasoprzestrzeni w szczególnej teorii względności, to znaczy we wszystkich tych zagadnieniach, w których nie uwzględnia wpływu grawitacji na strukturę geometryczną czasoprzestrzeni.
Do czasów Galileusza i Newtona przyjmowano, że zarówno przestrzeń jak i czas są absolutne, to znaczy, że każde dwa zdarzenia mają jednoznacznie określoną odległość w przestrzeni i jednoznacznie określoną odległość w czasie.
Zakładano, wzorując się na Arystotelesie, że wśród wszystkich możliwych układów odniesienia istnieje taki, który spoczywa i w nim powinny być mierzone odległości.
To założenie o istnieniu wyróżnionego przestrzennie układu odniesienia oznacza, że czasoprzestrzeń Arystotelesa możemy przedstawić w postaci iloczynu kartezjańskiego
\(\displaystyle{ \mathcal{A} = T \times S }\),
gdzie
\(\displaystyle{ T = E^{1} }\) jest osią czasu,
\(\displaystyle{ S = E^{3} }\) - trójwymiarową przestrzenią położeń.
Naturalna odległość \(\displaystyle{ d \in E^{3} }\) określa euklidesową odległość przestrzenną, a odległość \(\displaystyle{ \tau \in E^{1} }\) - długość odcinków czasu.
Odrzucenie przez Galileusza założenia o istnieniu we wszechświecie wyróżnionego układu odniesienia doprowadziło do rezygnacji czasoprzestrzeni Arystotelesa. Powstał nowy model czasoprzestrzeń Galileusza.
Różni się on od czasoprzestrzeni Arystotelesa tym, że odległość przestrzenna pomiędzy dwoma zdarzeniami określona jest tylko wtedy, gdy zdarzenia te są równoczesne. Przestrzeń staje się względna. Odległość dwóch zdarzeń nierównoczesnych zależy od wyboru układu odniesienia.
Czas natomiast pozostaje absolutny. Różnica czasów pomiędzy dwoma zdarzeniami nie zależy od wyboru układu odniesienia.
Wynika, stąd, że pojęcie równoczesności zdarzeń ma znaczenie absolutne.
Istnienie absolutnego pojęcia równoczesności zdarzeń oznacza podział czasoprzestrzeni \(\displaystyle{ E }\) na klasy zdarzeń równoczesnych, z których każda przedstawia dopuszczalne położenie ciał w ustalonej chwili czasu.
Zakłada się przy tym, że każda z klas ma strukturę trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej \(\displaystyle{ E^3. }\)
Podane fakty można matematycznie wyrazić w następujący sposób:
Istnieje odwzorowanie, zwane odwzorowaniem rzutowym
\(\displaystyle{ \pi: E \rightarrow T = E^{1} \ \ (*) }\),
które każdemu zdarzeniu \(\displaystyle{ p \in E }\) przyporządkowuje odpowiednią chwilę \(\displaystyle{ t.}\)
\(\displaystyle{ t = \pi(p) \in T = E^{1},}\)
Dla dowolnego \(\displaystyle{ t \in T }\) przeciwobraz \(\displaystyle{ \pi^{-1} \subset E }\), który przedstawia zbiór zdarzeń równoczesnych \(\displaystyle{ S_{t} }\) ma strukturę przestrzeni \(\displaystyle{ E^{3}. }\)
Używając współczesnej terminologii matematycznej, możemy powiedzieć, że przestrzeń Galileusza ma strukturę przestrzeni włóknistej.
Przestrzenią włóknistą (wiązką włóknistą) nazywamy trójkę \(\displaystyle{ ( X, \pi, B) }\), w której \(\displaystyle{ \pi: X \rightarrow B }\) jest odwzorowaniem (''na") - surjekcją przestrzeni wiązki \(\displaystyle{ X }\) na przestrzeń bazową (bazę) \(\displaystyle{ B. }\) Odwzorowanie \(\displaystyle{ \pi }\) jest rzutem.
Dla dowolnego \(\displaystyle{ x \in X}\) zbiór \(\displaystyle{ \pi^{-1}(x) }\) nazywamy włóknem nad \(\displaystyle{ x }\)
Zgodnie z wprowadzoną terminologią występujący we wzorze \(\displaystyle{ (*) }\) zbiór \(\displaystyle{ T }\) - oś czasu spełnia rolę przestrzeni bazowej.
Każdy zbiór zdarzeń równoczesnych \(\displaystyle{ S_{t} = \pi^{-1}(t), \ \ t \in T,}\) przedstawia włókno przestrzeni \(\displaystyle{ (E, \pi, T), }\) przy czym \(\displaystyle{ E = \bigcup_{t\in T} S_{t}.}\)
Czasoprzestrzeń Galileusza \(\displaystyle{ \mathcal{G} = ( E, \pi, T) }\) jest oczywiście przestrzenią czterowymiarową, ale czterowymiarowość czasoprzestrzeni podkreśla się dopiero od prac Einsteina i Minkowskiego.
Przyjęcie zasady względności w postaci zaproponowanej przez Eisteina wymagało rezygnacji z założenia, że istnieje czas absolutny. Założenie to prowadzi do niutonowskich wzorów na dodawanie (składanie) prędkości, których nie można pogodzić z faktem niezależności prędkości światła od ruchu źródła oraz ruchu obserwatora.
Ponadto jeśli zdarzenia dla jednego obserwatora w pewnym inercjalnym układzie odniesienia są równoczesne, dla obserwatora w innym układzie wcale nie muszą być równoczesne. Nie można mówić o równoczesności zdarzeń, nie wskazując jednocześnie względem jakiego układu odniesienia zdarzenia się te rozważa. Tak więc różni obserwatorzy różnie odbierają w czasie te same zdarzenia. Czas nie jest wielkością absolutną, lecz zależy od układu odniesienia.
Przytoczone argumenty wskazują, że musiała ulec zmianie struktura czasoprzestrzeni. Nie zakładamy, że w czasoprzestrzeni wyróżnione są hiperpłaszczyzny zdarzeń równoczesnych, że ma ona strukturę przestrzeni włóknistej, której bazą jest oś czasu. Rezygnujemy z czasoprzestrzeni Galileusza. Nowym modelem czasoprzestrzeni jest czasoprzestrzeń Minkowskiego.
Afiniczną przestrzenią Minkowskiego nazywamy przestrzeń \(\displaystyle{ \mathcal{M} = (\mathcal{A}, V^4) }\) z określonym na niej biliniowym i symetrycznym iloczynem skalarnym
\(\displaystyle{ ( \cdot ) : V^{4} \times V^{4} \rightarrow R^{1} }\)
Oznacza to, że w przestrzeni \(\displaystyle{ V^{4} }\) można wybrać bazę \(\displaystyle{ \{e_{\alpha}\} }\) w taki sposób, że
\(\displaystyle{ ((e_{\alpha}, e_{\beta})) = g_{\alpha, \beta} \ \ (**)}\)
Bazę spełniającą warunek \(\displaystyle{ (**) }\) nazywamy bazą ortonormalną.
Trzeba przyznać, że afiniczna przestrzeń Minkowskiego odgrywa w mechanice relatywistycznej podstawową rolę, bo stanowi ona model czasoprzestrzeni w szczególnej teorii względności, to znaczy we wszystkich tych zagadnieniach, w których nie uwzględnia wpływu grawitacji na strukturę geometryczną czasoprzestrzeni.
Re: Czas i przestrzeń
Skoro w różnych językach występuje po kilka różnych czasów to czy w Fizyce może istnieć kilka wymiarów czasowych?