W zbiorze zadań [1] znajdujemy zadanie \(\displaystyle{ 8.43 }\) o następującej treści:
Mol gazu doskonałego poddano cyklowi zamkniętemu składającemu się z dwóch przemian izochorycznych i dwóch przemian izobarycznych. Punkty \(\displaystyle{ (2), (4) }\) leżą na tej samej izotermie (wykres). W stanach \(\displaystyle{ (1), (3) }\) temperatury wynoszą odpowiednio \(\displaystyle{ T_{1}, T_{3}. }\)
a)
Proszę wyprowadzić wzór na temperaturę gazu \(\displaystyle{ T }\) w stanach \(\displaystyle{ 2 }\) i \(\displaystyle{ 4. }\)
b)
Proszę wyprowadzić wzór na pracę użyteczną wykonaną przez gaz w tym cyklu.
c)
Proszę obliczyć wartości liczbowe \(\displaystyle{ T }\) i \(\displaystyle{ W_{gazu} }\) dla \(\displaystyle{ T_{1} = 100 \ \ K}\) i \(\displaystyle{ T_{3} = 900 \ \ K.}\)
d)
Proszę obliczyć sprawność cyklu, korzystając obliczonej w punkcie b) pracy gazu i przyjmując, że ciałem roboczym był gaz jednoatomowy.
a)
Na podstawie wykresu określamy parametry \(\displaystyle{ p, V, T }\) dla każdego stanu \(\displaystyle{ 1, 2, 3, 4 : }\)
\(\displaystyle{ 1 (p_{1}, V_{1}, T_{1}) \rightarrow 2 ( p_{2}, V_{2}, T_{2}), \ \ V_{1}= V_{2}, T_{2}= T }\) (przemiana izochoryczna),
\(\displaystyle{ 2( p_{2}, V_{2}, T_{2})\rightarrow 3 (p_{3}, V_{3}, T_{3}) , \ \ p_{3} = p_{2} }\) ( przemiana izobaryczna),
\(\displaystyle{ 3 (p_{3}, V_{3}, T_{3}) \rightarrow 4 (p_{4}, V_{4}, T_{4}), \ \ V_{4} = V_{3}, T_{4} = T }\) ( przemiana izochoryczna),
\(\displaystyle{ 4 (p_{4}, V_{4}, T_{4}) \rightarrow 1 (p_{1}, V_{1}, T_{1})), \ \ p_{4} = p_{1} }\)( przemiana izobaryczna).
Piszemy równanie Clapeyrona dla każdego stanu osobno.
\(\displaystyle{ \begin{cases} p_{1}V_{1} = n R T_{1},\\ p_{2}V_{2} = nR T_{2}, \\ V_{1}= V_{2} \\ T_{2} = T \\ p_{3}V_{3} = n R T_{3}, \\ p_{3}= p_{2} \\ p_{4}V_{4} = n R T_{4}, \\ T_{4} = T, \\ V_{4} = V_{3} \\ p_{4} = p_{1}. \end{cases} }\)
Z powyższego układu równań, korzystając z równości parametrów w odpowiednich stanach, wyznaczamy temperaturę \(\displaystyle{ T }\) gazu jako funkcję temperatur \(\displaystyle{ T_{1}, T_{3}.}\)
\(\displaystyle{ p_{1} = \frac{n R T_{1}}{V_{1}} = \frac{nR T_{4}}{V_{4}} = p_{4} | \cdot \frac{1}{nR}}\)
\(\displaystyle{ \frac{T_{1}}{V_{4}} = \frac{T_{4}}{V_{4}},}\)
\(\displaystyle{ T_{4} = T, }\)
\(\displaystyle{ \frac{T_{1}}{V_{1}}= \frac{T}{V_{4}}, }\)
\(\displaystyle{ TV_{1} = T_{1} V_{4}, }\)
\(\displaystyle{ T = T_{1}\frac{V{4}}{V_{1}}, }\)
\(\displaystyle{ V{4} = V_{3}, }\)
\(\displaystyle{ T = T_{1}\frac{V_{3}}{V_{1}}, }\)
\(\displaystyle{ V_{3} = \frac{nRT_{3}}{p_{3}}, }\)
\(\displaystyle{ T = \frac{ T_{1} nR T_{3}}{p_{3}V_{1}} \ \ (1) }\)
\(\displaystyle{ p_{2}V_{2} = n R T }\)
\(\displaystyle{ p_{2} = p_{3}, \ \ V_{1} = V_{2}, }\)
\(\displaystyle{ p_{3}V_{1} = p_{2} V_{2} = n R T \ \ (2) }\)
Podstawiamy równanie \(\displaystyle{ (2) }\) do równania \(\displaystyle{ (1) }\)
\(\displaystyle{ T = \frac{T_{1}n R T_{3}}{nR T},}\)
\(\displaystyle{ T = \frac{T_{1} T_{3}}{T} , |\cdot T }\)
\(\displaystyle{ T^2 = T_{1}\cdot T_{3},}\)
\(\displaystyle{ T = \sqrt{T_{1}\cdot T_{3}} \ \ (3)}\)
b)
Wartość pracy użytecznej wykonanej przez gaz \(\displaystyle{ W_{gazu}}\) w czasie jednego obiegu wyznaczamy, obliczając pole kwadratu objętego cyklem.
\(\displaystyle{ W_{gazu} = (p_{2} - p_{1}) \cdot (V_{4} - V_{1}) }\)
\(\displaystyle{ W_{gazu} = p_{2}V_{4} - p_{2}V_{1} -p_{1}V_{4} + p_{1}V_{1} }\)
\(\displaystyle{ p_{2} = p_{3}, \ \ p_{1} = p_{4} \ \, V_{2} = V_{1} , \ \ V_{4} = V_{3} }\)
\(\displaystyle{ W_{gazu} = p_{3}V_{3} -p_{2}V_{2} - p_{4}V_{4} + p_{1}V_{1} }\)
Z równania Clapeyrona
\(\displaystyle{ W_{gazu} = n R T_{3} - n R T_{2}- n R T_{4} + n R T_{1}, }\)
\(\displaystyle{ T_{2} = T_{4} = T. }\)
\(\displaystyle{ W_{gazu} = n R T_{3} - n R T - n R T +n R T_{1}, }\)
\(\displaystyle{ W_{gazu} = n R ( T_{3} - 2T + T_{1} ), }\)
\(\displaystyle{ W_{gazu} = n R (T_{3} -2\sqrt{T_{1}T_{3}} + T_{1}), }\)
\(\displaystyle{ W_{gazu} = n R [ (\sqrt{T_{3}})^2 - 2\sqrt{T_{1}T_{3}} + (\sqrt{T_{1}})^2]. }\)
Ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwumianu
\(\displaystyle{ W_{gazu} = nR ( \sqrt{T_{3}} - \sqrt{T_{1}})^2, }\)
\(\displaystyle{ W_{gazu} = nR(\sqrt{T_{1}})^2\left[ \sqrt{\frac{T_{3}}{T_{1}}} -1 \right]^2, }\)
\(\displaystyle{ W_{gazu} = n R T_{1} \left(\sqrt{\frac{T_{3}}{T_{1}}} - 1\right)^2 \ \ (4)}\)
c)
Podstawiamy dane liczbowe:
Z równania \(\displaystyle{ (3) }\)
\(\displaystyle{ T = \sqrt{100 (K) \cdot 900 (K) } = \sqrt{9\cdot 10^4 (K^2)} = 3\cdot 10^2 \ \ K = 300 K.}\)
Z równania \(\displaystyle{ (4) }\)
\(\displaystyle{ W_{gazu} = 1(mol) \cdot 8,31 \left (\frac{J}{mol\cdot K}\right) \left( \sqrt{\frac{900 (K)}{100(K)}} -1 \right)^2 = 3324 J.}\)
d)
Sprawność cyklu
\(\displaystyle{ \eta = \frac{W_{gazu}}{Q_{p}} }\)
\(\displaystyle{ Q_{p} }\) jest ilością ciepła pobranego
Z wykresu wynika, że w jednym cyklu mamy następujące procesy:
\(\displaystyle{ 1 \rightarrow 2 }\) - proces izochorycznego sprężania,
\(\displaystyle{ 2 \rightarrow 3 }\) - proces izobarycznego rozprężania,
\(\displaystyle{ 3 \rightarrow 4 }\) - proces izochorycznego rozprężania,
\(\displaystyle{ 4 \rightarrow 1 }\) - proces izobarycznego sprężania.
Z pierwszej zasady termodynamiki (obliczając ciepło) wynika, że w procesach \(\displaystyle{ 1 \rightarrow 2, \ \ 2\rightarrow 3}\) gaz pobiera ciepło, czyli
\(\displaystyle{ Q_{p}= Q_{1\rightarrow 2} + Q_{ 2\rightarrow 3},}\)
\(\displaystyle{ Q_{p} = n C_{V} \Delta T + nC_{p} \Delta T }\)
Dla gazów jednoatomowych ciepła molowe są równe
\(\displaystyle{ C_{V} = \frac{3}{2}R, \ \ C_{p} = \frac{5}{2} R. }\)
\(\displaystyle{ Q_{p} = \frac{3}{2} n R ( T - T_{1}) + \frac{5}{2} n R ( T_{3} - T), }\)
\(\displaystyle{ Q_{p} = n R\left( \frac{3}{2}T -\frac{3}{2}T_{1} +\frac{5}{2}T_{3} - \frac{5}{2} T \right), }\)
\(\displaystyle{ Q_{p} = n R \left( \frac{5}{2}T_{3} - \frac{3}{2}T_{1} - T \right), }\)
\(\displaystyle{ Q_{p} = 1(mol) \cdot 8,31 \left(\frac{J}{mol \cdot K}\right) \left(\frac{5}{2}\cdot 900 (K) - \frac{3}{2}\cdot 100 (K) - 300 (K)\right) = 14958 J.}\)
Sprawność cyklu
\(\displaystyle{ \eta = \frac{3324 J}{14958 J} = 0,(22) \approx 22\% .}\)
[1] Agnieszka Bożek, Katarzyna Nesssing, Jadwiga Salach z fizyką w przyszłość zbiór zadań dla szkół ponadgimnazjalnych, zakres rozszerzony część 2. Wydanie IV. WSiP Warszawa 2017
