Cykl pracy silnika cieplnego

[janusz47]

W zbiorze zadań \(\displaystyle{ [1] }\) znajdujemy zadanie \(\displaystyle{ 8.41 }\) następującej treści:

Na rysunku przedstawiono cykl pracy silnika cieplnego, w którym ciałem roboczym jest pół mola dwuatomowego gazu gazu doskonałego.
Przemiana \(\displaystyle{ 2 - 3 }\) jest adiabatyczna. Dane są temperatury \(\displaystyle{ T_{1} = 300 K, \ \ T_{2}= 790 K. }\)

a) Proszę obliczyć sprawność silnika.

b) Proszę obliczyć pracę wykonaną przez gaz w przemianie adiabatycznej dwoma sposobami:

- korzystając z wyniku uzyskanego w punkcie \(\displaystyle{ a) }\)

- korzystając z pierwszej zasady termodynamiki.

Z wykresu \(\displaystyle{ p(V) }\) (rysunek) wynika, że na pełny obieg pracy silnika cieplnego składają się następujące procesy (przemiany):

\(\displaystyle{ 1(V_{1}, T_{1}, p_{1}) \rightarrow 2( V_{1}, T_{2}, 2,5 p_{1}) }\) - proces izochorycznego sprężania,

\(\displaystyle{ 2( V_{1}, T_{2}, p_{2}) \rightarrow 3( 2V_{1}, T_{1} p_{1}) }\) - proces adiabatycznego rozprężania,

\(\displaystyle{ 3(2V_{1},T_{1}, p_{1}) \rightarrow 1((V_{1}, T_{1}, p_{1}) }\) - proces izobarycznego sprężania.

Sprawność silnika cieplnego \(\displaystyle{ \eta }\) to iloraz różnicy ciepła oddanego i pobranego przez ciepło pobrane,

\(\displaystyle{ \eta = \frac{Q_{p} - |Q_{o}|}{Q_{p}} \ \ (1) }\)

Silnik pobiera ciepło w procesie \(\displaystyle{ 1- 2 }\) i oddaje w procesie \(\displaystyle{ 3 - 1. }\)

Do obliczenia ilość tego ciepła potrzebne są ciepła molowe dla gazu dwuatomowego \(\displaystyle{ C_{V}, \ \ C_{p}.}\)

Na stronie \(\displaystyle{ 24 }\) autorki zbioru zadań podały \(\displaystyle{ C_{V} = \frac{5}{2}R.}\)

Nie podały wartości ciepła molowego \(\displaystyle{ C_{p}. }\)

Na przykład z podręcznika \(\displaystyle{ [2] }\) - odczytujemy dla gazów o cząsteczkach dwuatomowych \(\displaystyle{ C_{p} = \frac{7}{2}R. }\)

Wielkość tą możemy określić, nie odwołując się do dodatkowego podręcznika (na co prawdopodobnie liczyły autorki zbioru zadań) z równania:

\(\displaystyle{ C_{p} - C_{V} = R, }\)

z którego

\(\displaystyle{ C{p} = C_{V} + R }\)

\(\displaystyle{ C_{p} = \frac{5}{2}R + R = \frac{7}{2}R.}\)

\(\displaystyle{ R = 8,31 \frac{J}{mol \cdot K} }\) - uniwersalna stała gazowa.

Ciepło pobrane

\(\displaystyle{ Q_{p} = n C_{V} R( T_{2} - T_{1}) \ \ (2) }\)

Ciepło oddane

\(\displaystyle{ Q_{o} = n C_{p} R (T_{1} - T_{3}) \ \ (3) }\)

Temperaturę \(\displaystyle{ T_{3} }\) obliczamy z równania Clapeyrona dla punktu \(\displaystyle{ 3 }\) wykresu

\(\displaystyle{ p_{1}\cdot 2V_{1} = n R T_{3} }\)

\(\displaystyle{ T_{3} = \frac{2p_{1}V_{1}}{nR} = 2T_{1}\ \ (4) }\)

Podstawiamy równanie \(\displaystyle{ (4) }\) do równania \(\displaystyle{ (3) }\) i równania \(\displaystyle{ (3), (2) }\) do równania \(\displaystyle{ (1),}\)

otrzymujemy

\(\displaystyle{ \eta = \frac{nC_{V} (T_{2} - T_{1}) - |n C_{p}( T_{1} - 2T_{1}|}{n C_{V} (T_{2} - T_{1})} = 1 - \frac{\frac{7}{2}R}{\frac{5}{2}R} \frac{T_{1}}{(T_{2} - T_{1})} = 1 - \frac{7}{5}\frac{T_{1}}{ (T_{2} - T_{1})}, }\)

\(\displaystyle{ \eta = 1 - \frac{7}{5} \frac{300 (K)}{ 790(K) - 300(K)} \approx 14,3\% }\)

b)

Z równania pierwszej zasady termodynamiki

\(\displaystyle{ \Delta U = Q + W }\)

Dla przemiany adiabatycznej \(\displaystyle{ Q = 0.}\)

Stąd

\(\displaystyle{ W = \Delta U = n C_{V}R (T_{2} - T_{3}) = n\frac{5}{2}R ( T_{2} -2T_{1}) }\)

\(\displaystyle{ W = 0,5 (mol) \cdot 2,5 \cdot 8,31 \left(\frac{J}{mol\cdot K}\right) \left(790 (K) - 600(K)\right) \approx 1974 \ \ J.}\)

\(\displaystyle{ [1] }\) Agnieszka Bożek, Katarzyna Nessing, Jadwiga Salach. Z fizyką w przyszłość zbiór zadań dla szkół ponadgimnazjalnych zakres
rozszerzony część 2. WSiP Warszawa 2017.

\(\displaystyle{ [2] }\) Jan Zambrzycki FIZYKA. Leksykon ucznia. Wydawnictwo ELAN Białystok 1999.

[korki_fizyka]

[..]
\(\displaystyle{ [2] }\) Jan Zambrzycki FIZYKA. Leksykon ucznia. Wydawnictwo ELAN Białystok 1999.

Leksykon wydany przez autora własnym sumptem jest dość siermiężny w składzie nawet jak na końcówkę XX w. zwłaszcza ilustracje podobne do tych z wydawnictwa "Fosze" czy ala "Scripta". Jedynie sztywna, kolorowa okładka oraz szycie wytrzymały próbę czasu. Zakupiony do biblioteki praktycznie nie był nigdy używany w przeciwieństwie do wyśmienitej pozycji tegoż samego autora - "Fizyka, podstawy teorii z zadaniami dla kandydatów na wyższe uczelnie".

[janusz47]

To jest Pana opinia, moja jest inna.

[korki_fizyka]

Za moją świadczy ilość wypożyczeń, notabene wystarczy podać \(\displaystyle{ c_v}\) lub rodzaj gazu (cząsteczka dwuatomowa), wtedy \(\displaystyle{ c_p}\) można sobie obliczyć w pamięci z równania Mayera, pozdrawiam.

[janusz47]

Czytał Pan rozwiązanie zadania? Czy nie podałem równania \(\displaystyle{ C_{p} - C_{V} = R }\) jako alternatywnej metody obliczenia \(\displaystyle{ C_{p}}\) (na co prawdopodobnie liczyły autorki zbioru zadań) ?

Za moją ilość cennych, prosto i czytelnie przekazanych informacji.

[korki_fizyka]

Za moją ilość cennych, prosto i czytelnie przekazanych informacji.

chwała Ci za to !!

[Jan Kraszewski]

Za moją ilość cennych, prosto i czytelnie przekazanych informacji.

chwała Ci za to !!

Nie wiem, czy zrozumiałeś - januszowi47 chodziło o to, że za jego opinią o wzmiankowanej książce świadczy ilość cennych, prosto i czytelnie przekazanych informacji w tejże książce.

Tak czy inaczej czas zakończyć OT dotyczący jakości książki - o tym można podyskutować w dziale "Matematyk w bibliotece".

JK

[korki_fizyka]

Zgadzam się w 100 % chodziło mi tylko o..już nieważne a kiedy będzie dział "Fizyk w bibliotece"?