Zadanie z termodynamiki

Przemiany termodynamiczne. Bilans cieplny. Teoria molekularno-kinetyczna. Fizyka statystyczna.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Zadanie z termodynamiki

Post autor: janusz47 »

W zbiorze zadań [1] znajduje się zadanie \(\displaystyle{ 8.23^{*} }\) następującej treści:

Izolowany cieplnie zbiornik jest podzielony nieruchomą ścianką przewodzącą ciepło na dwie części o objętościach \(\displaystyle{ V_{1}= 0,5\ \ m^3}\) i \(\displaystyle{ V_{2} = 0,8 \ \ m^3. }\) W pierwszej części znajduje się azot pod ciśnieniem \(\displaystyle{ p_{1}= 1,2\cdot 10^5 \ \ Pa, }\) o początkowej temperaturze \(\displaystyle{ T_{1} = 300 \ \ K,}\) w drugiej tlen pod ciśnieniem \(\displaystyle{ p_{2} = 1,0\cdot 10^5 \ \ Pa, }\) o początkowej temperaturze \(\displaystyle{ T_{2} = 400 K.}\) Oba gazy traktujemy jako doskonałe.

a)
Proszę wyprowadzić wzór na wspólną temperaturę gazów (po przekazaniu ciepła) i obliczyć jej wartość liczbową. Ciepła molowe obu gazów w stałych objętościach są jednakowe.

b)
Jaką postać przyjmie ten wzór, gdy:

\(\displaystyle{ (1)\ \ V_{1} = V_{2}, }\) a ciśnienie i temperatury będą takie same jak poprzednio?

\(\displaystyle{ (2) \ \ V_{1} = V_{2}, \ \ p_{1} = p_{2}, }\) a początkowe temperatury będą takie same jak poprzednio?

Proszę obliczyć wartości liczbowe wyników.

c)
W przypadku a) proszę obliczyć ciśnienie tlenu i azotu po przekazaniu ciepła.

Rozwiązanie

a)
Korzystamy z równania Clausiusa-Clapeyrona:

\(\displaystyle{ p V = n R T }\)

Obliczamy

- ilość moli \(\displaystyle{ n_{1} }\) azotu,

- ilość moli \(\displaystyle{ n_{2} }\) tlenu,

\(\displaystyle{ n_{1} = \frac{p_{1}V_{1}}{R T_{1}} \ \ (1) }\)

\(\displaystyle{ n_{2} = \frac{p_{2} V_{2}}{R T_{2}} \ \ (2)}\)

Zbiornik podzielony jest nieruchomą, przewodzącą ścianką. Między tlenem a azotem nastąpi wymiana ciepła przy stałych objętościach \(\displaystyle{ V_{1}, \ \ V_{2}.}\) Mamy więc tu do czynienia z procesem izochorycznym.

Na podstawie teorii kinetyczno - molekularnej gazów doskonałych wynika, że w procesie tym ilość ciepła \(\displaystyle{ Q }\) potrzebna do zmiany temperatury \(\displaystyle{ n }\) moli gazu o \(\displaystyle{ \Delta T }\) jest określona równością:

\(\displaystyle{ Q = n C_{V} \Delta T }\) (patrz np. \(\displaystyle{ [2] }\))

Azot - gaz o niższej temperaturze będzie ciepło pobierał, przy czym ilość tego ciepła będzie równa

\(\displaystyle{ Q_{p} = n_{1} C_{V} \Delta T_{1} = n_{1}C_{V} (T - T_{1}) }\)

gdzie \(\displaystyle{ T }\) - wartość wspólnej temperatury gazów (po przekazaniu ciepła)

Tlen - gaz o wyższej temperaturze będzie ciepło oddawał, przy czym ilość tego ciepła będzie równa

\(\displaystyle{ Q_{o} = n_{2}C_{V} \Delta T_{2} = n_{2}C_{V}(T_{2} - T) }\)

Z bilansu cieplnego:

\(\displaystyle{ Q_{o} = Q_{p} }\)

\(\displaystyle{ n_{2}C_{V}(T_{2} - T) = n_{1}C_{V} (T - T_{1}) }\)

Dzielimy obie strony równania przez \(\displaystyle{ C_{V} }\)

\(\displaystyle{ n_{2} (T_{2} - T) = n_{1} = n_{1} (T - T_{1}) \ \ (4) }\)

Z równania tego obliczamy temperaturę \(\displaystyle{ T }\)

\(\displaystyle{ n_{2}T_{2} - n_{2}T = n_{1}T - n_{1}T_{1} }\)

\(\displaystyle{ n_{2}T_{2} +n_{1}T_{1} = n_{1}T + n_{2}T }\)

\(\displaystyle{ n_{1}T_{1} + n_{2}T_{2} = T(n_{1}+n_{2}) }\)

\(\displaystyle{ T = \frac{n_{1}T_{1} +n_{2}T_{2}}{n_{1} + n_{2}} \ \ (3) }\)

Podstawiamy do równania \(\displaystyle{ (3) }\) ilości moli \(\displaystyle{ n_{1}, \ \ n_{2} }\) dane równaniami \(\displaystyle{ (1), \ \ (2).}\)

\(\displaystyle{ T = \frac{\frac{p_{1}V_{1}}{R T_{1}} T_{1} + \frac{p_{2} V_{2}}{R T_{2}} T_{2}}{\frac{p_{1}V_{1}}{R T_{1}} + \frac{p_{2} V_{2}}{R T_{2}}} }\)

Po uproszczeniu licznika przez \(\displaystyle{ T_{1} }\) i \(\displaystyle{ T_{2} }\) oraz wyłączenia wspólnego czynnika \(\displaystyle{ \frac{1}{R} }\) z licznika i mianownika ułamka, otrzymujemy

\(\displaystyle{ T = \frac{\frac{1}{R}( p_{1}V_{1} + P_{2}V_{2})}{\frac{1}{R}\left[ \frac{1}{T_{1}T_{2}}( p_{1}V_{1}T_{2} + p_{2}V_{2}T_{1})\right] } }\)

Upraszczamy licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ \frac{1}{R} }\)

\(\displaystyle{ T = \frac{( p_{1}V_{1} + P_{2}V_{2})}{ \frac{1}{T_{1}T_{2}}( p_{1}V_{1}T_{2} + p_{2}V_{2}T_{1})} = \frac{T_{1}T_{2}(p_{1}V_{1}+p_{2}V_{2})}{p_{1}V_{1}T_{2} + p_{2}V_{2}T_{1}} \ \ (4) }\)

\(\displaystyle{ T = \frac{300(K)\cdot 400(K)(1,2\cdot 10^5 (Pa)\cdot 0,5(m^3)+ 1,0\cdot 10^5(Pa)\cdot 0,8(m^3)}{1,2\cdot 10^5(Pa)\cdot 0,5(m^3)\cdot 400(K) + 1,0 \cdot 10^5(Pa) \cdot 0,8 (m^3)\cdot 300 (K)} = \frac{120000(K^2)[0,6\cdot 10^5(Pa)(m^3)+0,8\cdot 10^5(Pa)(m^3)]}{240\cdot 10^5(Pa)(m^3) (K) + 240\cdot 10^5(Pa)(m^3)(K)} =}\)
\(\displaystyle{ = \frac{168000 K^2}{480 K} = 350 K.}\)

b)

(1)
Kładąc \(\displaystyle{ V_{1} = V_{2} = V }\) w równaniu \(\displaystyle{ (4) }\) otrzymujemy

\(\displaystyle{ T_{(1)} = \frac{T_{1} T_{2}(p_{1}V + p_{2}V)}{p_{1} V T_{2} + p_{2} V T_{1}} = \frac{T_{1} T_{2} V (p_{1}+ p_{2})} {V(p_{1}T_{2}+p_{2}T_{1})}= \frac{T_{1}T_{2}(p_{1}+p_{2})}{p_{1}T_{2} +p_{2}T_{1}}, }\)

\(\displaystyle{ T_{(1)} = \frac{300(K) \cdot (400 K)[ 1,2\cdot 10^5 (Pa) +1,0 \cdot 10^5 (Pa)]}{ 1,2\cdot 10^5(Pa) \cdot 400 (K) + 1,0\cdot 10^5(Pa)\cdot 300(K)}= \frac{120000(K^2)\cdot 2,2\cdot 10^{5} (Pa) }{480(K) 10^5(Pa) + 300(K) (10^5)(Pa)} = \frac{120000\cdot 2,2 (K^2)(Pa)}{780 (K )(Pa)}\approx 338 \ \ K.}\)

(2)
Kładąc w równaniu \(\displaystyle{ (4) \ \ V_{1} = V_{2} = V, \ \ p_{1}= p_{2} = p }\) otrzymujemy

\(\displaystyle{ T_{(2)} = \frac{T_{1}T_{2}(pV + pV)}{p V T_{2} + p V T_{1}}= \frac{2pV(T_{1} T_{2})}{pV(T_{1}+T_{2})} = \frac{2T_{1}T_{2}}{T_{1}+T_{2}},}\)

\(\displaystyle{ T_{(2)} = \frac{2\cdot 300 (K)\cdot 400 (K)}{300 (K) + 400 (K)} = \frac{240000 K^2}{700 K} \approx 343\ \ K.}\)

c)

Po przekazaniu ciepła - azot i tlen będą miały temperaturę \(\displaystyle{ T = 350 K. }\)

Z równania Clausiusa-Clapeyrona obliczamy

- ciśnienie azotu \(\displaystyle{ p_{a} }\)

\(\displaystyle{ p_{a}V_{1} = n_{1} R T }\)

\(\displaystyle{ p_{a} V_{1} = \frac{p_{1}V_{1}}{RT_{1}}RT }\)

\(\displaystyle{ p_{a} = p_{1}\cdot \frac{T}{T_{1}}, }\)

\(\displaystyle{ p_{a} = 1,2\cdot 10^5 (Pa) \frac{350 (K)}{300 (K)} = 1,4\cdot 10^5 \ \ Pa. }\)

- ciśnienie tlenu \(\displaystyle{ p_{t} }\)

\(\displaystyle{ p_{t} = p_{2} \cdot \frac{T}{T_{2}}, }\)

\(\displaystyle{ p_{t} = 1,0 \cdot 10^5 (Pa) \frac{350 (K)}{400 (K)} = 0,875 \cdot 10^5 \ \ Pa.}\)


\(\displaystyle{ [1] }\) Agnieszka Bożek, Katarzyna Nessing, Jadwiga Salach, z fizyką w przyszłość, zbiór zadań dla szkół ponadgimnazjalnych zakres rozszerzony
część 2. WSiP Warszawa 2017.

\(\displaystyle{ [2] }\) Maria Fiałkowska, Barbara Sagnowska, Jadwiga Salach, z fizyką w przyszłość podręcznik dla szkół ponadgimnazjalnych zakres rozszerzony
część 2. WSiP Warszawa 2016.
ODPOWIEDZ