4 podstawowe przemiany

[Niepokonana]

Dzień dobry
Proszę o pomoc, pani nam dała jakąś teorię i kazała robić zadania, ale ja nie rozumiem, co się z czym łączy i dlaczego.

Wykres ciśnienia od objętości \(\displaystyle{ p(V)}\) i przemiana ilustrowana poprzez ukośny wykres funkcji liniowej... Jaka to przemiana? Ani nie izotermiczna, ani nie adiabatyczna, ani nie izobaryczna, ani nie izochoryczna...
Mam jakąś teorię i jakieś zadania do niej, ale nie rozumiem, co się z czego bierze.
Weźmy takie zadanie na przykład, jak to się rozwiązuje?
Przemiana izotermiczna, bo wykres jest hiperbolą. Rozprężanie, ciśnienie końcowe jest dwa razy mniejsze niż początkowe, a objętość cztery razy większa niż początkowa. Jeden mol gazu jednoatomowego.

"Rozstrzygnij czy energia wewnętrzna gazu w tej przemianie rosła czy malała i uzasadnij odpowiedź." Ja nie rozumiem, czemu miała by się zmieniać, skoro temperatura została zachowana.
a) Oblicz zmianę energii wewnętrznej, jeżeli na początku objętość wynosiła \(\displaystyle{ 6l}\) i ciśnienie wynosiło \(\displaystyle{ 2\cdot 10^{3} hPa}\).
Dlaczego energia się zmieniła, skoro \(\displaystyle{ \Delta T=0}\)? Czy może to wcale nie jest przemiana izotermiczna tylko adiabatyczna? Ale jak je rozróżnić?
"Oszacuj pracę wykonaną przez gaz w tej przemianie" i " oszacuj ilość ciepła pobranego w tej przemianie oraz średnią wartość jego ciepła molowego". Co to znaczy i dlaczego mam oszacować a nie policzyć?

[janusz47]

Pani dała teorię z Termodynamiki i zadania z tego działu fizyki.

Zadanie 1
Jaka jest dokładna treść zadania i wykres \(\displaystyle{ P-V ?}\)

[Niepokonana]

No tak, moja pani mi dała jakąś teorię, której nie rozumiem.
Treść jest taka jaką podałam.
Zadanie 8.25/29 z "Z fizyką w przyszłość". Wykres jest taki, że cztery razy zwiększa się objętość i dwukrotnie maleje ciśnienie.

[janusz47]

Zadanie 8.25

Jeden mol jednoatomowego gazu doskonałego podano przemianie, którą ilustruje wykres p(V) pokazany na rysunku.

Uzasadnij, czy energia wewnętrzna gazu w tej przemianie rosła czy malała. Uzasadnij odpowiedź ?

Energią wewnętrzną nazywamy sumę wszystkich rodzajów energii wszystkich cząstek danego ciała w tym przypadku gazu.

Cząsteczki posiadają różnego rodzaju energie: kinetyczną ( ponieważ są w nieustannym chaotycznym ruchu), potencjalną ( jeśli oddziałują między sobą siłami międzycząsteczkowymi).

Składnikami energii wewnętrznej są także: energia elektronów w atomach i energia nukleonów w jądrach atomowych.

Nie musimy wymieniać wszystkich składników energii wewnętrznej bo w procesach termodynamicznych, którymi zajmujemy się w fizyce, tylko niektóre z tych składników ulegają zmianie.

W przypadku gazu doskonałego, którego cząsteczki nie oddziałują z sobą za energię wewnętrzną uważamy tylko sumę energii kinetycznych wszystkich rodzajów cząstek. Dlatego zgodnie z zasadą ekwipartycji energii energia wewnętrzna gazu doskonałego wynosi

\(\displaystyle{ U = N \cdot \frac{i}{2}k\cdot T \ \ (1) }\)

gdzie: \(\displaystyle{ N }\) - jest liczbą cząstek gazu, a \(\displaystyle{ i }\) - liczba stopni swobody cząsteczki, \(\displaystyle{ k }\) - stałą Boltzmana, \(\displaystyle{ T }\) temperatura w stopniach Kelwina.

Z równania \(\displaystyle{ (1) }\) wynika, że energia wewnętrzna gazu \(\displaystyle{ U }\) zależy od jego temperatury \(\displaystyle{ T. }\)

Dlatego, aby odpowiedzieć na pytanie, czy energia w tej przemianie rosła czy malała musimy na podstawie podanego wykresu stwierdzić, czy temperatura gazu wzrastała czy malała.

Z wykresu odczytujemy \(\displaystyle{ V_{B} = 4V_{A} , \ \ p_{B} = \frac{1}{2}p_{A}. }\)

Z równania Clausiusa - Clapeyrona

\(\displaystyle{ n R T = p V, }\)

Temperatura w punkcie \(\displaystyle{ A }\)

\(\displaystyle{ n R T_{A} = p_{A}V_{A} }\)

\(\displaystyle{ T_{A} = \frac{p_{A}\cdot V_{A}}{n R}}\)

Temperatura w punkcie \(\displaystyle{ B }\)

\(\displaystyle{ T_{B} = \frac{p_{B}\cdot V_{B}}{nR} }\)

\(\displaystyle{ T_{B} = \frac{\frac{1}{2}p_{A} \cdot 4V_{A}}{nR} = 2\frac{p_{A}\cdot V_{A}}{nR} = 2 T_{A} }\)

Temperatura gazu w tej przemianie rosła, więc energia wewnętrzna gazu też rosła.

Proszę przejrzeć rozwiązanie pierwszej części zadania.

Przejdziemy do rozwiązań pozostałych jego punktów.

[AiDi]

Energią wewnętrzną nazywamy sumę wszystkich rodzajów energii wszystkich cząstek danego ciała w tym przypadku gazu.

Warto dodać, że energie te mierzone są w układzie w którym ciało jako całość spoczywa. Czyli jeśli w jakimś układzie odniesienia ciało jako całość się porusza to energia kinetyczna związana z tym ruchem nie wlicza się do energii wewnętrznej.

[janusz47]

a)
Proszę obliczyć zmianę energii wewnętrznej, jeśli w stanie \(\displaystyle{ A }\) objętość gazu była równa \(\displaystyle{ 6 l, }\) a ciśnienie wynosiło \(\displaystyle{ 2\cdot 10 ^{3} \ \ hPa. }\)

Zmiana energii wewnętrznej gazu doskonałego

\(\displaystyle{ \Delta U = \frac{N\cdot i \cdot k}{2}\Delta T }\)

Z powyższego wzoru wynika, że zmiana energii wewnętrznej określonej i stałej masy gazu doskonałego (a więc stałej liczby cząstek) jest jednoznacznie związana ze zmianą jego temperatury.

Stanowi to podstawowy fakt we wszystkich dyskusjach przemian (procesów) termodynamicznych gazu doskonałego.

Wzrost temperatury gazu oznacza wzrost jego energii wewnętrznej, spadek temperatury oznacza zmniejszanie się tej energii,

W procesach izotermicznych gazu doskonałego \(\displaystyle{ U = }\) const.

Dla gazu jednoatomowego korzystamy ze wzoru na energię wewnętrzną

\(\displaystyle{ U = \frac{3}{2}n\cdot R \cdot T }\)

\(\displaystyle{ n -}\) liczba moli gazu,

\(\displaystyle{ R - }\) uniwersalna stała gazowa.

Zmiana energii w stanach \(\displaystyle{ A, B }\)

\(\displaystyle{ \Delta U = U_{B} - U_{A} }\)

\(\displaystyle{ \Delta U = \frac{3}{2}n R T_{B} - \frac{3}{2}nR T_{A} = \frac{3}{2}nR( T_{B} - T_{A}) }\)

Podstawiamy wartości temperatur z pierwszego podpunktu zadania

\(\displaystyle{ \Delta U = \frac{3}{2}nR \left(\frac{p_{B}V_{B}}{nR} - \frac{p_{A}V_{A}}{nR} \right) }\)

Upraszczamy iloczyn \(\displaystyle{ n\cdot R }\)

\(\displaystyle{ \Delta U = \frac{3}{2}( p_{B}\cdot V_{B} - p_{A}\cdot V_{A}) }\)

\(\displaystyle{ \Delta U = \frac{3}{2} \left( \frac{1}{2}p_{A}\cdot 4 V_{A} - p{A}\cdot V_{A}\right) = \frac{3}{2}(2p_{A}\cdot V_{A} - p_{A}\cdot V_{A}) = \frac{3}{2}p_{A}\cdot V_{A} }\)

\(\displaystyle{ \Delta U = \frac{3}{2}\cdot 2\cdot 10^5 (Pa) \cdot 0,006(m^3) = 0,018 \cdot 10^5 Pa\cdot m^3 = 1800 J.}\)

Dodano po 41 minutach 35 sekundach:
b)

Proszę ustalić wartość zmiany objętości, której odpowiada poziomy bok kartki na wykresie, oraz wartość zmiany ciśnienia, której odpowiada pionowy bok kratki.

Na tej podstawie obliczamy pracę gazu odpowiadającą jednej kratce wykresu.

Praca gazu, gdy jego objętość rośnie \(\displaystyle{ \Delta V >0 }\)

\(\displaystyle{ W = p\cdot \Delta V }\)

Z wykresu, uwzględniając skalę jednej kratki:

- w poziomie

\(\displaystyle{ \Delta V = \frac{1}{2}0,006 m^3 = 0,003 m^3 }\)

- w pionie

\(\displaystyle{ \Delta p = \frac{1}{8} \cdot 2\cdot 10^{5} Pa = \frac{1}{4}\cdot 10^5 Pa = 0,25\cdot 10^5 Pa.}\)

\(\displaystyle{ W = 0,003(m^3)\cdot 0,25 \cdot 10^5 (Pa) = 0,00075\cdot 10^3 Pa\cdot m^3 = 75 J.}\)

Dodano po 12 minutach 15 sekundach:
c)

Proszę oszacować pracę wykonaną przez gaz w tej przemianie.

Praca wykonana przez gaz jest jest wartością pola pod wykresem \(\displaystyle{ p(V) }\)

Aby obliczyć pole powierzchni pod wykresem musimy przeprowadzić całkowanie funkcji \(\displaystyle{ p(V).}\)

W szkolnych zbiorach zadań tematy są tak ułożone, aby uniknąć całkowania.

Liczymy więc liczbę \(\displaystyle{ n }\) kratek znajdujących się pod wykresem latex] p(V). [/latex]

\(\displaystyle{ n \approx 33}\)

Praca wykonana przez gaz

\(\displaystyle{ W_{gaz} \approx n\cdot W }\)

\(\displaystyle{ W_{gaz} \approx 33\cdot 75 (J) \approx 2475 J. }\)

Dodano po 4 godzinach 43 minutach 39 sekundach:
d)

Proszę oszacować ilość ciepła \(\displaystyle{ Q }\) pobranego przez gaz w tej przemianie oraz średnią wartość ciepła molowego w przemianie \(\displaystyle{ A-B. }\)

Z pierwszej zasady termodynamiki

\(\displaystyle{ Q = \Delta U - W }\)

\(\displaystyle{ Q = 1800 (J) - (-2475 (J)) = 4275 J.}\)


Ciepło molowe gazu jest to ilość ciepła potrzebna do ogrzania jednego mola gazu o \(\displaystyle{ 1 K. }\)

Ciepło molowe jest różne, gdy ogrzewa się substancję pod stałym ciśnieniem \(\displaystyle{ C_{p} }\) i gdy ogrzewa się ją w stałej objętości \(\displaystyle{ C_{v}.}\).

Dla substancji skondensowanych ta różnica jest niewielka,

Różnice te są duże zwłaszcza dla gazów. Dla gazu doskonałego różnica między \(\displaystyle{ C_{p}}\) a \(\displaystyle{ C_{v} }\) równa jest stałej gazowej \(\displaystyle{ R = 8,31 \frac{J}{mol\cdot K}. }\)

Wartość ciepła molowego \(\displaystyle{ C }\) obliczymy ze wzoru:

\(\displaystyle{ Q = n \cdot C \cdot \Delta T }\)

\(\displaystyle{ C = \frac{Q}{n\cdot \Delta T} \ \ (2)}\)

gdzie

\(\displaystyle{ n -}\) liczba moli,

\(\displaystyle{ Q -}\) ilość ciepła pobranego przez gaz,

\(\displaystyle{ \Delta T- }\) różnica temperatur.

Zmianę temperatury w punktach \(\displaystyle{ B - A }\) wykresu obliczyliśmy ze wzoru Clausiusa-Clapeyrona

\(\displaystyle{ \Delta T = T_{B} - T_{A} = 2T_{A} - T_{A} = T_{A}.}\)

\(\displaystyle{ \Delta T = \frac{p_{A} \cdot V_{A}}{n\cdot R} }\)

\(\displaystyle{ \Delta T = \frac{2\cdot 10^5 (Pa) \cdot 0,006 (m^3)}{1(mol) \cdot 8,31\left( \frac{J}{mol\cdot K} \right)} = \frac{1200 (J)}{8,31\left(\frac{J}{K}\right)} \approx 144, 4 K, }\)

Na podstawie wzoru \(\displaystyle{ (2) }\)

\(\displaystyle{ C = \frac{4275(J)}{1(mol)\cdot 144,4 (K)} \approx 29,6 \frac{J}{mol\cdot K}.}\)

[Niepokonana]

Innymi słowy: nie jest to przemiana izotermiczna tylko adiabatyczna? A skąd wiadomo, czy praca jest dodatnia czy ujemna? Skąd wiadomo, którego wzoru na deltę energii należy użyć?

[janusz47]

Przemiana adiabatyczna (proces adiabatyczny)

Jest to przemiana, podczas której nie następuje wymiana ciepła między gazem a otoczeniem.

Pierwsza zasada termodynamiki dla tej przemiany

\(\displaystyle{ Q = 0 \Longrightarrow \Delta U = W.}\)

Mogą zajść dwa przypadki

1.
Rozprężenie adiabatyczne - \(\displaystyle{ V }\) wzrasta \(\displaystyle{ \Delta V >0 \Longrightarrow W< 0 \Longrightarrow \Delta U < 0, }\) oznacza to, że gaz wykonał pracę kosztem swojej energii wewnętrznej.

2.
Sprężenie adiabatyczne - \(\displaystyle{ V }\) maleje \(\displaystyle{ \Delta V < 0 \Longrightarrow W > 0 \Longrightarrow \Delta U >0, }\) energia wewnętrzna gazu wzrosła - oznacza to, że siły zewnętrzne wykonały pracę nad gazem.

W obu przypadkach energia wewnętrzna gazu ulegała zmianie tylko na skutek wykonywanej nad gazem pracy.

W przypadku ogólnym można wykonywać pracę nad gazem i równocześnie gaz może wymieniać ciepło z otoczeniem.

Wtedy

\(\displaystyle{ \Delta U = Q + W }\)

co jest zapisem pierwszej zasady termodynamiki.

Zmiana energii wewnętrznej ciała jest równa sumie ciepła wymienionego z otoczeniem i pracy wykonanej nad gazem przez siłę zewnętrzną.


W procesie adiabatycznym, wszystkie trzy parametry: \(\displaystyle{ p, V, T }\) ulegają zmianie.

[Niepokonana]

To zawsze tak jest, że jak się ściska i zmniejsza objętość to praca jest dodatnia? Widzi Pan, nawet nie wiem, o co pytać, bo nie rozumiem tych przemian.