Poziom wody
-
zaliczenie14
- Użytkownik
- Posty: 86
- Rejestracja: 6 paź 2018, o 18:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 12 razy
Poziom wody
Hermetycznie zamknięte naczynie prostopadłościenne napełnione jest do wysokości \(\displaystyle{ H_{1} =2,24m}\) wodą, a powyżej (\(\displaystyle{ h_{1} =1,96m}\)) powietrzem pod ciśnieniem otoczenia \(\displaystyle{ p_{ot} =98066Pa}\). Woda wycieka z naczynia przez mały otwór w dnie zaopatrzony w kapilarę. Jak obniży się poziom wody w naczyniu kiedy ustanie z niego wypływ wody. Założyć stałą temperaturę gazu( \(\displaystyle{ T=idem}\)), oraz że przyspieszenie grawitacyjne wynosi \(\displaystyle{ g=9,8066m/ s^{2} }\)
-
kruszewski
- Użytkownik
- Posty: 6882
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 1112 razy
Re: Poziom wody
Zauważmy, że
1. W chwili ustania ruchu cieczy wypływającej opory ruchu równe są zeru a zagadnienie z dynamicznego staje się statycznym.
2. Na poziomie dna naczynia ciśnienia w otworze kapilary są sobie równe i są równe atmosferycznemu.
3. Ciśnienie wywierane na dno naczynia przez wodę i powietrze w naczyniu można określić z równań :
dla powietrza nad lustrem wody
\(\displaystyle{ p_1 V_1 = p_2 V_2 }\)
oraz wody na dno naczynia:
\(\displaystyle{ p_w = \rho_w \cdot H_2}\)
1. W chwili ustania ruchu cieczy wypływającej opory ruchu równe są zeru a zagadnienie z dynamicznego staje się statycznym.
2. Na poziomie dna naczynia ciśnienia w otworze kapilary są sobie równe i są równe atmosferycznemu.
3. Ciśnienie wywierane na dno naczynia przez wodę i powietrze w naczyniu można określić z równań :
dla powietrza nad lustrem wody
\(\displaystyle{ p_1 V_1 = p_2 V_2 }\)
oraz wody na dno naczynia:
\(\displaystyle{ p_w = \rho_w \cdot H_2}\)
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Poziom wody
Dane
\(\displaystyle{ H_{1} = 2,24 m, \ \ h_{1} = 1,96 m, \ \ p_{ot} =98066 Pa, \ \ \gamma_{w} = 9,8066 \frac{kN}{m^{3}}.}\)
Obliczyć
\(\displaystyle{ x }\) - wysokość na której woda przestanie wypływać z naczynia.
Analiza zadania
W trakcie opróżniania prostopadłościennego naczynia - poziom zwierciadła wody obniża się, rośnie objętość gazu znajdującego się ponad zwierciadłem wody - powietrze rozpręża się. Pomimo otworu zaopatrzonego w kapilarę, woda z naczynia przestanie wypływać, gdy suma
ciśnień gazu \(\displaystyle{ p_{g}}\) i warstwy wody w zbiorniku, zrównoważy się z ciśnieniem otoczenia panującym w otworze kapilary.
Równanie równowagi przyjmie więc postać
\(\displaystyle{ p_{ot} = p_{g} + \gamma \cdot x }\)
stąd
\(\displaystyle{ p_{g} = p_{ot} -\gamma \cdot x \ \ (1) }\)
Rozwiązanie
Przy założeniu, że przemiana jest izotermiczna \(\displaystyle{ (T = idem) }\), na podstawie Prawa Boyle'a-Mariotta
\(\displaystyle{ p_{ot}\cdot V_{0} = p_{g}\cdot V_{g} }\)
gdzie
\(\displaystyle{ V_{0} = a\cdot b \cdot (H_{1}-h_{1}) }\) jest objętością powietrza przed izotermicznym rozprężeniem
\(\displaystyle{ V_{g} = a\cdot b\cdot ( H_{1} - x) }\) jest objętością powietrza, gdy woda przestanie wypływać z naczynia
Ciśnienie powietrza na podstawie powyższych równań wyraża się zależnością
\(\displaystyle{ p_{g} = \frac{H_{1} - h_{1}}{H_{1} - x} p_{ot} \ \ (2) }\)
Porównując prawe strony równań \(\displaystyle{ (1), (2) }\)
\(\displaystyle{ p_{ot} -\gamma \cdot x = \frac{H_{1} - h_{1}}{H_{1} - x} p_{ot} }\)
Po przekształceniu powyższego równania, otrzymujemy równanie kwadratowe
\(\displaystyle{ \gamma x^2 - (p_{0t} + H_{1}\gamma )x + p_{ot} h_{1} = 0 }\)
Po podstawieniu danych
\(\displaystyle{ 9806,6 x^2 - ( 98066 + 2,24 \cdot 9806,6) x + 98066\cdot 1,96 = 0 }\)
Po podzieleniu równania przez \(\displaystyle{ 1000 }\)
\(\displaystyle{ 9,8066 x^2 - (98,066 + 2,24 \cdot 9,8066) x + 98, 066 \cdot 1,96 = 0 }\)
\(\displaystyle{ 9,8066 x^2 - 120,03 x + 192,21 = 0 }\)
\(\displaystyle{ \Delta = (-120,03)^2 - 4\cdot 9,8066 \cdot 192,21 = 6867,5 }\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = \sqrt{6867.5}= 82,807 }\)
\(\displaystyle{ x = \frac{120,03 - 82.807}{2\cdot 9,8066} = 1,8946 m }\)
\(\displaystyle{ \Delta h = H_{1} - x }\)
\(\displaystyle{ \Delta h = 2,24 m - 1, 89 m = 0,35 m. }\)
Poziom wody w naczyniu obniży się o około \(\displaystyle{ 0,35 m. }\)
\(\displaystyle{ H_{1} = 2,24 m, \ \ h_{1} = 1,96 m, \ \ p_{ot} =98066 Pa, \ \ \gamma_{w} = 9,8066 \frac{kN}{m^{3}}.}\)
Obliczyć
\(\displaystyle{ x }\) - wysokość na której woda przestanie wypływać z naczynia.
Analiza zadania
W trakcie opróżniania prostopadłościennego naczynia - poziom zwierciadła wody obniża się, rośnie objętość gazu znajdującego się ponad zwierciadłem wody - powietrze rozpręża się. Pomimo otworu zaopatrzonego w kapilarę, woda z naczynia przestanie wypływać, gdy suma
ciśnień gazu \(\displaystyle{ p_{g}}\) i warstwy wody w zbiorniku, zrównoważy się z ciśnieniem otoczenia panującym w otworze kapilary.
Równanie równowagi przyjmie więc postać
\(\displaystyle{ p_{ot} = p_{g} + \gamma \cdot x }\)
stąd
\(\displaystyle{ p_{g} = p_{ot} -\gamma \cdot x \ \ (1) }\)
Rozwiązanie
Przy założeniu, że przemiana jest izotermiczna \(\displaystyle{ (T = idem) }\), na podstawie Prawa Boyle'a-Mariotta
\(\displaystyle{ p_{ot}\cdot V_{0} = p_{g}\cdot V_{g} }\)
gdzie
\(\displaystyle{ V_{0} = a\cdot b \cdot (H_{1}-h_{1}) }\) jest objętością powietrza przed izotermicznym rozprężeniem
\(\displaystyle{ V_{g} = a\cdot b\cdot ( H_{1} - x) }\) jest objętością powietrza, gdy woda przestanie wypływać z naczynia
Ciśnienie powietrza na podstawie powyższych równań wyraża się zależnością
\(\displaystyle{ p_{g} = \frac{H_{1} - h_{1}}{H_{1} - x} p_{ot} \ \ (2) }\)
Porównując prawe strony równań \(\displaystyle{ (1), (2) }\)
\(\displaystyle{ p_{ot} -\gamma \cdot x = \frac{H_{1} - h_{1}}{H_{1} - x} p_{ot} }\)
Po przekształceniu powyższego równania, otrzymujemy równanie kwadratowe
\(\displaystyle{ \gamma x^2 - (p_{0t} + H_{1}\gamma )x + p_{ot} h_{1} = 0 }\)
Po podstawieniu danych
\(\displaystyle{ 9806,6 x^2 - ( 98066 + 2,24 \cdot 9806,6) x + 98066\cdot 1,96 = 0 }\)
Po podzieleniu równania przez \(\displaystyle{ 1000 }\)
\(\displaystyle{ 9,8066 x^2 - (98,066 + 2,24 \cdot 9,8066) x + 98, 066 \cdot 1,96 = 0 }\)
\(\displaystyle{ 9,8066 x^2 - 120,03 x + 192,21 = 0 }\)
\(\displaystyle{ \Delta = (-120,03)^2 - 4\cdot 9,8066 \cdot 192,21 = 6867,5 }\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = \sqrt{6867.5}= 82,807 }\)
\(\displaystyle{ x = \frac{120,03 - 82.807}{2\cdot 9,8066} = 1,8946 m }\)
\(\displaystyle{ \Delta h = H_{1} - x }\)
\(\displaystyle{ \Delta h = 2,24 m - 1, 89 m = 0,35 m. }\)
Poziom wody w naczyniu obniży się o około \(\displaystyle{ 0,35 m. }\)